包含排除原理与发生函数方法

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1、包含排除原理与发生函数方法对于组合性质的事物，常常遇到计算个数的问题，即计算问题。我们通过举一些例子说明如何应用包含排除原理与发生函数方法去进行计数。一包含排除原理定理引出让我们从一个简单的例子谈起：数学系三年级甲班共有学生30名。在学完英语的基础上，本学期又开了日、德、法三门外语以供选修。班上选修日语的有15人，选修德、法语的各14人，同时选修日、德语的有7人，同时选修日、法语和法、德语的各有6人，三门全选的仅有3人。问此班中本学期选外语的学生有几人？分析将此班中每个学生看作一个点，用分别表示选修日、德、法各种外语的学生集合。以表示集合中所包含的点的个数，于是按题设即有：为了求出未选外语的

2、学生人数，我们只需求出选了外语（即至少选一门外语）的学生人数。为此我们先将选各门外语的人数统统加起来，即：但这样凡是同时选修任何两门外语的人数均被计算了两次。这样自然就想到了要“排除”，即减去：到此为止，我们可以知道三门外语全选的3人在第一次包含中各被计算了3次，在第一次排除中各被减掉了一次，因此，要得到所求人数，就必须把他们再“包含”进来，这样我们得到：这个27就是我们要求的选了外语的学生总数。于是，30-27=3（人），就是说，班上只有3人未选外语。正是这种“包含”，包含多了再“排除”，排除多了再“包含”，用“包含”和“排除”反复交替来达到求得准确答案的计数方法，大约早在三个世纪之前，就

3、已经被人们发现，并将其总结为一般的原理，即为包含排除原理。下面我们看看什么是包含排除原理。定理1（包含排除原理Principleofinclusionandexclusion）设有N个事物，其中有些事物具有性质中的某些性质。令表示具有性质的事物个数，表示兼有及性质的事物个数，此处由此定义，及应代表同一数值，并且凡兼具，性质的事物也认为具有性质或。一般地，设具有性质的事物个数。那么，N中不具有任何性质的事物的个数即等于：定理直观分析在给出定理证明之前，让我们先来对公式的结构作些直观的分析。为了求出N个事物中不具任何性质的事物个数，当然只要从N中减去至少具有一个性质的事物的个数就可以了。而至少具

4、有一个性质的事物的个数S就是：这是因为在第一个和式中确实把具有任何一种性质事物都计算过了，但却把具有两种或两种以上性质的事物各多算了若干次。例如，对同时兼具性质的事物，在中都各被计数一次，所以就出现了重复计数现象，第二项用意在于把重复计数的对象个数再排除出去。但这样一来，又会出现排除过多的现象，虽然在和式中恰好具有一种或两种性质的事物都正确的计数了一次，但对于譬如具有性质的一个事物，它在中被计数了三次，多算了两次，而在中又被排除了3次，结果是一次也没有保留，所以又须靠中的一项中补还它一次，仿此类推，可见S等式的右端的各和式正好起着盈亏相抵的作用。定理的严格证明假设N个事物中的任一特定事物T刚

5、好只具有k个性质则此事物在中都被计数一次，所以在和式中显然一共被计数了次。同理，在和式中它显然被计数了次。依此类推，可见它在下列总和中一共被计数的次数是这表明具有性质的每一个事物在S中都被计算一次，可见S即等于具有任何性质的事物的总数。因此便是不具有任何性质的事物的总数。定理证毕。包含排除原理的应用例1试确定不定方程满足要求的整数解的组数。分析首先注意，方程（r为非负整数）的非负整数解的组数就是n种相异事物中允许重复（重复次数不限）取r个的组合方法数，为。令则问题化为求方程的满足条件的整数解组数。将此方程的所有非负整数解看作集合，则由以上的提示知（记号表示中所含元素的个数）。对任何一组非负整

6、数解以性质表示表示表示以及表示。则按定理1，所求解组数就是作替换易见就是方程的非负整数解组数。因而，余皆类似，不难求得其它的及所有的和统统为0.代入得例2假定有n对夫妇参加某舞会。约定每一男人必须邀请除自己妻子以外的某一女人伴舞。问所有可能的舞伴方法数共多少种？分析考虑由1，2，n这n个数作成的排列，对于这排列中的第k个位置，称为是数k的自身位置；使得每个数都不在其自身位置的排列称为错排序列。显然，所求的舞伴方法数就是长度为n的错排序列的总数。将这总数记作，则即是此例的答案。令表示由1，2，n所作成的个不同的全排列的集合，以表示在排列中数i在其自身位置上的性质，则以及对任何的均有。于是关于乱

7、序排列的这一公式，早在1713年就曾被Montmort找到。值得注意的是，对很大的n要想用此公式去计算的精确数值却十分不易，但是由于当n充分大时所以我们有非常简单的近似公式，随之而来的是，在考虑随机排列时，得到的是错排序列（譬如说，某人写了应该发往n个不同地址的n封信，封好后竟然乱填地址，其结果没有一个地址填对）的概率即为，而近似为例3设是一组两两互质的正整数，即又设n是一个给定的正整数。问在从1到n这n个正