【教学设计】《函数建模案例》（北师大）

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1、高中数学北师大版（必修一）畅言教育《函数建模案例》◆教材分析用函数模型解决实际问题这部分内容，非常注重贴近实际生活，关注社会热点，要求学生对一些实际例子做出判断、决策，注重培养学生分析问题、解决问题的能力。解决函数建模问题，也就是根据实际问题建立起数学模型来。所谓的数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表达的一种数学结构。函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行。本节内容是安排在学生刚学完函数的相关知识，为学生建立起函数模型奠定基础。◆教学目标【知识与能力目标】能够收集图表数据信息，建立拟合函数

2、解决实际问题。【过程与方法目标】体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。【情感态度价值观目标】深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。【教学难点】对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策

3、略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型

4、和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键。本例建立数学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。在实际问题中，有关人口增长、银行

5、利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．另外，在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系用二次函数模型表示，出租车的计费是采用分段函数模型等等。（2）用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做数学建模，可以用图表示数学建模的过程。三、质疑答辩，发展思维1.举例：据市场分析，北京某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时

6、，月总成本最低为17.5万元。写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系。已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解：(1)由题意可知，y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5解得.所以用心用情服务教育高中数学北师大版（必修一）畅言教育(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y==因为x＝23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元。2.思考：建立函数模型的关键是什么？解：关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关：①事理关：通过

7、阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口。②文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系。③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力。3.例题:例1某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个。现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天

8、所赚的利润最大？并求出最大值。解：设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元。每天销售总额为(10＋x)(100－10x