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时间:2019-05-23
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1、高中数学北师大版(必修一)畅言教育《函数建模案例》◆教材分析用函数模型解决实际问题这部分内容,非常注重贴近实际生活,关注社会热点,要求学生对一些实际例子做出判断、决策,注重培养学生分析问题、解决问题的能力。解决函数建模问题,也就是根据实际问题建立起数学模型来。所谓的数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括,用形式化的数学语言表达的一种数学结构。函数就是重要的数学模型,用函数解决方程问题,使求解变得容易进行。本节内容是安排在学生刚学完函数的相关知识,为学生建立起函数模型奠定基础。◆教学目标【知识与能力目标】能够收集图表数据信息,建立拟合函数
2、解决实际问题。【过程与方法目标】体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法,体会函数拟合的思想方法。【情感态度价值观目标】深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。用心用情服务教育高中数学北师大版(必修一)畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】收集图表数据信息、拟合数据,建立函数模解决实际问题。【教学难点】对数据信息进行拟合,建立起函数模型,并进行模型修正。◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分2003年5月8日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策
3、略数学模型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于5月19日初步完成了第一批成果,并制成了要供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说,就全国而论,若非典病人延迟隔离1天,就医人数将增加1000人左右;若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数100人左右;若4月21日以后,政府示采取隔离措施,则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据,建立了非典流行趋势预测动力学模型
4、和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。二、研探新知,建构概念1.电子白板投影出上面实例。用心用情服务教育高中数学北师大版(必修一)畅言教育这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据,建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。2.教师组织学生分组讨论:先让学生分析,师生一起归纳。(1)在现实世界中,存在着许许多多的函数关系,建立合适的函数模型是解决这种关系的关键。本例建立数学模型的过程,实际上就是对收集来的数据信息进行拟合,从而找到近似度比较高的拟合函数。在实际问题中,有关人口增长、银行
5、利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.另外,在加速直线运动中,物体运动的路程与时间的关系用二次函数模型表示,出租车的计费是采用分段函数模型等等。(2)用数学眼光看问题,用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做数学建模,可以用图表示数学建模的过程。三、质疑答辩,发展思维1.举例:据市场分析,北京某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时
6、,月总成本最低为17.5万元。写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系。已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?解:(1)由题意可知,y=a(x-15)2+17.5,将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5解得.所以用心用情服务教育高中数学北师大版(必修一)畅言教育(2)设最大利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y==因为x=23∈[10,25],所以月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元。2.思考:建立函数模型的关键是什么?解:关键在于审题,而要准确理解题意,又必须过好三关:①事理关:通过
7、阅读、理解,明白问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口。②文理关:将实际问题的语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系。③数理关:在构建数学模型的过程中,对已有数学知识进行检索,从而认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化,构建了数学模型之后,要真正解决数学问题,就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力。3.例题:例1某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时,每天可卖出100个。现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨1元,销售量就减少10个,问他将售价定为多少元时,才能使每天
8、所赚的利润最大?并求出最大值。解:设每个提价x元(x≥0,x∈N),利润为y元。每天销售总额为(10+x)(100-10x
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