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1、例如,注意:（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆。（1）常数零是唯一一个作为无穷小的的数。问：y=f(x)=0.0001是否某变化过程下的无穷小量？第2.4节无穷小与无穷大一、无穷小则称f(x)是x→X下的无穷小量柯西定义:即某邻域上有
2、f(x)－0
3、<ε0通常本书x→X下的无穷小记为：a(x)；b(x)；‥可以证明：所以函数sinx是当x→0时的无穷小量.即某邻域下有
4、f(x)
5、<ε1二、无穷大量定义1:某过程下,因变量绝对值无限增大的变量称为无穷大由函数的图形，问：=∞更进一步，还可区分出是+∞，还是－∞。如：三、无穷小与无穷大的关
6、系若f(x)为无穷大,则为无穷小;若f(x)为无穷小,且则为无穷大.定理1在自变量的同一变化过程中,记为：显然2四、无穷小量与函数极限的关系必要性:定理2用柯西定义可证定理3.若
7、g(x)
8、≤M,a(x)无穷小,则提示:因在某邻域上
9、a(x)
10、<ε/M,所以五、无穷小量的性质.如：其中：其中x→∞(有界函数与无穷小之积为无穷小)N即无穷小与有界变量之积为无穷小.则在某邻域上有
11、f(x)－a
12、<ε,于是f(x)－a=α(x)，即f(x)=a+α(x)，充分性略.因而g(x)α(x)是无穷小.3一、极限四则运算法则定理4设更正(无穷小的倒数是
13、无穷大)下面给出简单函数的四则运算构成的较复杂函数的极限性质.注:定理3的(1)、(2)可以由归纳法推广到有限个函数的情况）即:由条件在某邻域上有4=x其中前面已用定义证明：特别当：注:定理3的(1)、(2)可以由归纳法推广到有限个函数的情况）即:5前面已经推出计算公式：以后利用复合函数连续性质可证明(n为正整数)：其中函数不存在.特别在极限四则运算中,若于是有无穷小的以下性质.6推论1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.=0推论4有极限的函数与无穷小的乘积是无穷小。推论3常数(显然有界)与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷
14、小的乘积也是无穷小.例已知确定型=0=0注：无穷大与无穷大(非零常数)之积为无穷大,无穷大与常数的代数和是无穷大,同符号无穷大之和为无穷大.如:不存在7是待定型，如记此类无穷小商极限但极限四则运算中,若无意义注：本书将讨论7种待定型极限，其中是常见的一种，我们将引入性质介绍其解法.8二、求极限方法举例例1解有理函数(无穷小的倒数是无穷大)问：x→∞的极限其中称为多项式函数方法:先将有理函数的分子分母同除x的最高次幂.答：原式=9分析：当x→1时，分子分母均为无穷小量，例2(消去零因子法)待定型解:所以不能直接用极限的四则运算法则，将其分解
15、出因子(x－1)再求极限。称为有理函数极限10小结:==1.直接用商的极限2.倒数是否无穷小稍后讨论一般形如的计算公式m和n为非负整数时有方法:首先将有理函数的分子分母同除x的最高次幂,再利用性质计算.为此先定义“高阶无穷小”等4个定义作准备.11三、无穷小的比较例如,通常用希腊字母a,b表示某过程下的无穷小观察各极限两个无穷小的和、差、积为无穷小，但商是待定型sinx与2x趋于0的速度大致相同x2趋于0的速度比3x要快得多3x趋于0的速度比x2要慢得多sinx与x趋于0的速度相同称x2是比3x高阶的无穷小量称3x是比x2低阶的无穷小量称
16、sinx与x等价无穷小量称sinx与2x同阶无穷小量12定义:下面利用等价无穷小计算某些(4)特别,如果13四、等价无穷小代换(仅介绍常见的因式替换定理)定理２(等价无穷小代换定理)证易难作用一般有：其中：切记：不能在加减运算求极限时使用等价无穷小代换.因为：14常见的等价无穷小：可以证明，当x→0时,错:不能在加减运算中使用等价无穷小代换改正解：原式＝当变量为t时？当t→0时,以上7个等价无穷小可由本章稍后二个重要极限证明特别当x→X时,t=g(x)→0,则有注:可证15等价无穷小的一般形式：如果当x→X时,t=g(x)→0,则有练习题
17、答:原式=＝2如x→1时,t=g(x)=(x－1)→0，则sin(x－1)~(x－1)16根式函数答：注意到公式当不是上面6种常见的等价无穷小,则具体情况具体分析。如17分析：由于有二个参数a；b，需构造两个方程求解。P93第17题：已知求a=?,b=?代入给定的极限中有：所以分子的极限必为零，否则极限为∞，与已知矛盾。由前面的讨论有：b=－a－1，－2－a＝5所以：a=－7b＝6即原极限必为的待定型18思考：p9815题由有理函数的极限知：当a=0时,课外：解：令由条件有：当a≠0有矛盾所以a≠0,b,c为任意实数跳过19由有理函数的极
18、限知：若a≠0,则原函数极限为0，与已知条件矛盾,于是a=0。(有理函数极限）所以有：a=0,b=1,c为任意实数答：由条件有：再由条件得：b=1,c为任意实数。则原式＝20例5解：x=0是函
