《2.2.1 条件概率》导学案2

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《2.2.1条件概率》导学案2【课标要求】1．在具体情境中，了解条件概率的概念．2．掌握求条件概率的两种方法．3．利用条件概率公式解一些简单的实际问题．【核心扫描】1．条件概率的概念．(难点)2．条件概率的求法及应用．(重点)自学导引1．条件概率一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．对于古典概型，有P(B|A)＝.想一想：事件A发生的条件下，事件B发生等价于事件AB同时发生吗？P(B|A)＝P(AB)吗？提示　事件A发生的条件下，事件B发生，等价于事件A与事件B同时发生，即AB发生，但P(B|A)≠P(AB)，这是因为事件(B|A)中的基本事件空间为A，相对于原来的总空间Ω而言，已经缩小了，而事件AB所包含的基本事件空间不变，故P(B|A)≠P(AB)．2．条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．试一试：如图所示，向正方形区域内随机投点，若已知事件A发生，你能探求一下事件B发生的概率吗？ 提示　由于向正方形区域内随机投点，故该概率模型属于几何概型．由几何概型的概率公式可知P(B|A)＝＝＝.名师点睛1．对条件概率的理解(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息可知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．(2)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件概率P(A)，P(AB)三者之间的关系．由条件概率公式可以解决下列两类问题：一是已知P(A)，P(AB)去求P(B|A)；二是已知P(A)，P(B|A)去求P(AB)．2．条件概率计算中注意的问题(1)条件概率的判断：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率；题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．如：有含5件次品的20件产品，从中任取两件，其中一件经检验为次品，求两件都是次品的概率．题目中虽没有明显的条件提示，但是却有“其中一件经检验为次品”，此事件的出现影响了所求事件——两件都是次品的概率，故此题应为条件概率．(2)在具体题目中，必须弄清谁是A，谁是B，即：是在哪个事件发生的条件下，哪个事件的概率．题型一　利用定义求条件概率【例1】抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)、P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？[思路探索]借助图形，按古典概型求概率的方法求出P(A)、P(B)、P(AB)后由条件概率的定义求概率． 解　(1)掷两颗骰子共有36种不同的情况，它们是等可能的．故P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，(2)法一　P(B|A)＝＝.法二　P(B|A)＝＝＝.[规律方法]　(1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数．(2)条件概率的定义揭示了P(A)、P(AB)及P(B|A)三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系．(3)抛掷两颗骰子，用数形结合的方法找基本事件很直观．【变式1】设100件产品中有70件一等品，25件二等品，其余为三等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求：(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解　设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则(1)因为100件产品中有70件一等品，P(B)＝＝.(2)法一　因为95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，∴AB＝B，∴P(B|A)＝＝.法二　P(B|A)＝＝＝.题型二　利用缩小样本空间的观点计算P(B|A)【例2】一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．[思路探索]由P(B|A)＝求解．解　令Ai＝{第i只是好的}，i＝1,2.法一　n(A1)＝CC，n(A1A2)＝CC，故P(A2|A1)＝＝＝.法二　因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝＝.[规律方法]　条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把即定事件A所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB，如图所示，从而P(B|A)＝.【变式2】盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？解　设事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：红球蓝球小计玻璃球246木质球3710小计51116由表知n(AB)＝4，n(B)＝11，∴P(A|B)＝＝.题型三　条件概率的综合应用【例3】在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．审题指导通过考试时可答对4道、5道、6道，考试获得优秀可答对5道或6道，再利用条件概率计算公式计算．[规范解答]记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题”，事件C为“该考生答对了其中4道题”．事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，(4分)且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.(6分) 则P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.(8分)P(ED)＝P(E)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，(10分)P(E|D)＝＝＝.故在考试通过的情况下他获得优秀成绩的概率为.(12分)【题后反思】当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．【变式3】高三(1)班和高三(2)班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到一班同学时，正好碰到一名女同学的概率．解　在碰到(1)班同学时，正好碰到一名女同学的概率即为A发生的条件下，B发生的概率，由图表可知Ω(A)＝70，Ω(AB)＝30.由条件概率公式求得P(B|A)＝＝＝.误区警示　未理解题意致错【示例】抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率．[错解]令点数不超过4为事件A，点数为奇数为事件B，则P(B|A)＝＝.把事件B|A误认为事件AB.[正解]P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”、“事件A发生并且事件B也发生”、“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系.