二进制的转换及在不等式证明中的运用

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1、二进制“奥妙”湖北省襄樊市襄阳区一中：宋全民我们已进入了信息时代，信息以不同的形式出现在我们的身边。我们知道计算机是利用电路中逻辑元件的电位高低来表示1和0的，也就是说各种信息必须转换成二进制。这是计算机应用的前提，也是计算机应用的结果。掌握并灵活的运用二进制是我们学习计算机知识的基础。下面谈谈二进制数的转换及在不等式证明中的运用。一、十进制数与二进制数的转换教材中十进制数转换成二进制数是以“除2取余法”的方法实现的。给出了方法，没有给出理论依据，有点让学生“死记硬背”的意味。我们不防从另一个角度考虑这个问题。例如：=1*25第一项+1*24第二项+0*23+1*22+0*21

2、+1*20第六项=32+16+0+4+0+1=53这个式子从左边向右边看是二进制的展开式，展开后共有六项（如批注从左向右），其中第三项与第五项为零，实际上只有四项，这四项都是2n(n∈N,n的取值不同)，四项的和得到十进制数53。如果从右边向左边看你会发现十进制53可分解成32+16+4+1四项，这四项都是2n（n∈N,n的取值不同），根据指数的大小可以确定十进制数转换成二进制数后哪些位为1，不存在的位以0补充即可(二进制只有0和1两个数构成，1乘以2n还是2n，指数加1便确定了1所在的位置)。通过这种方法可以把“除2取余法”转换成“2n(n∈N,n的取值不同）的加法”，这种方

3、法不断便于老师的教，更便于学生的学，同时让学生学会从相反的角度考虑问题。做事不仅如此，做人更应如此。二、二进制数与八进制数及十六进制数的转换教材中在讲二进制数与十六进制数之间的转换时，也只是给出了方法，没有给出理论依据，也有点让学生“死记硬背”的味道。学生在运用时只会套用，不能有效的开拓学生的思维，会让学生的创新思想僵化。我们可以通过下面的方法向学生证明。二进制只有0和1二个数；八进制有0到7八个数；十六进制有0到15十六个数（其中10到15是有0到9这十个阿拉伯数字中某两位组合而成的，为了区别其它数字，10到15分别用A、B、C、D、E、F表示）。例如：式子一：0≤=4a+2

4、b+c≤7(a、b、c同时取0时最小，同时取1时最大)式子二：0≤≤7式子三：0≤=8a+4b+2c+d≤15(a、b、c、d同时取0时最小，同时取1时最大)式子四：0≤≤15从式子一可以看出任何三位二进制数它的取值范围在0至7之间，从式子二可以看出任何一位八进制数它的取值范围也在0到7之间，也就说任何三位二进制数可以找到相应的一位八进制数替换，反过来任何一位八进制数可以找到相应的三位二进制数替换（从后向前三位分成一节，不满足三位的在前面补0对这个数不产生任何影响，因为0乘以2n还为0）。从式子三可以看出任何四位二进制数它的取值范围在0至15之间，从式子四可以看出任何一位十六进

5、制数它的取值范围也在0到15之间，也就说任何四位二进制数可以找到相应的一位十六进制数替换，反过来任何一位十六进制数可以找到相应的四位二进制数替换（从后向前四位分成一节，不满足四位的在前面补0对这个数不产生任何影响，因为0乘以2n还为0）。169===169===八进制数与十六进制数之间没有之直接的关系，八进制数转换成十六进制数要以二进制数为桥梁。从上面的式子也可以发现，对于同一个数字，在转换的过程中，转换的进制越大，转换后的位数越少。如果我们掌握了所有进制的运算，就会发现进制越大，运算速度越快（位数少）；进制越小，运算速度越慢（位数多）。计算机运算速度的提高与每次所能处理的位数

6、有关，先前的计算机采用十六位进行处理，现在一般采用三十二位处理及六十四位处理。三、二进制在不等式证明中的运用有一类不等式在数学中运用很广，例如这类不等式：2n≥2n-1+2n-2+2n-3+……+20(n∈N,n的取值不同）如果上面的不等式成立，当底数变大时会更成立（指数不变时，底数变大，相当于不等式的每一项都相应的乘了1.5n(n∈N,n的取值不同）以上的值)，如何证明上面的不等式成立便成为关键。我们可以利用二进制来证明。不等式的右边=1*2n-1+1*2n-2+1*2n-3+……+1*20=(111……111)n个12=(111……111+1-1)2=(1这个1在n+1的位

7、置上000……000-1)2=2n-1≤2n=左边，可见上面的不等式成立。又例如：3n≥3n-1+3n-2+3n-3+……+30不等式的右边=（2*3n-1+2*3n-2+2*3n-3+……+2*30）=(222……222)n个23=(222……222+1-1)3=(1这个1在n+1的位置上000……000-1)3=（3n-1）≤3n=左边，可见此不等式也成立。上面不等式的成立，为我们证明类似不等式提供了依据。如只有奇数项或只有偶数项。若底数再增大我们可由三进制推广到四进制、五进制、六进制等