2011高二数学试卷(理科)答案

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1、永嘉县普高联合体2011学年第一学期期末联考高二数学试卷（理科）（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，多选或少选均不给分）.题目12345678910答案AACDCACBCD二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）.11．所有三角形都是等边三角形12．13．14．615．16．三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17、（本小题满分8分）设均为正数，且，求证：.证明：法一：(分

2、析法)要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．…………………………(2)又因为a＋b＞0，只需证a2－ab＋b2＞ab成立．…………………………(4)又需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．…………………………(6)而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立，由此命题得证．…………………………(8)法二：(综合法)a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0⇒a2－2ab＋b2＞0…………………………(2)⇒a2－ab＋b2＞ab.(*)而a

3、，b均为正数，∴a＋b＞0，由(*)式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，…………………………(6)∴a3＋b3＞a2b＋ab2.…………………………(8)法三：(比较法)…………………………(4)——4——…………………………(8)其他方法正确照样给分18、（本小题满分8分）用数学归纳法证明：.证明：（1），左边=1，右边=等式成立；……………(2)（2）假设等式成立，即……………(4)则当时，有成立时等式也成立……………(6)由（1）（2）知对于任何等式均成立.……………(8)19、（本小

4、题满分12分）如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,.(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.解(1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），设P（0，0，2m），则E（1，1，m），∴=（-1，1，m），=（0，0，2m）.∴cos〈,〉==解得m=1,∴点E的坐标是（1，1，1）.……………(6)注：如建立其他不同坐

5、标方法计算，答案正确照样给分。（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）.则=（x-1，-1，z-1），又=（2，0，0），=（0，2，-2）∵EF⊥平面PCB∴⊥，且⊥即∴∴，∴F点的坐标为（1，0，0）……………(10)即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.……………(12)——4——20、（本小题满分14分）设椭圆的离心率为,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为8．过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分且与椭圆交于A、B两点.(1)求椭圆的方程；(2)求这条弦所在直线的方程;(3)求.解：

6、（1）解得所以椭圆的方程C为：…………………(4)（2）设、为的中点　　又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是…………………(6)即，故所求直线的方程为，即.…………………(8)(3)联立消去y整理得…………(10)解得，所以A（0，2），B（4，0）…………(12)…………(14)注：利用其他方法求得正确答案照样给分21、（本小题满分14分）已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（II）若函数在区间上不单调且仅有一个极值点，求的取值范围．——4——解:（Ⅰ）由题意得…………………

7、(2)又，解得，或…………………(4)（Ⅱ）当时，，则单调递增；当是，存在2个零点，又在（-1，1）仅有1个极值点，所以在（-1，1）的零点个数为1个，根据零点存在定理，有，即：……………(8)整理得：，解得……………(10)经验证当a=-1时，所以原函数在为减函数，在为增函数，故符合题意；当时，所以原函数在上单调递减，不符合题意；综上……………(14)——4——