全国高中数学联赛一试常用解题方法之基本不等式法

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1、全国高中数学联赛一试常用解题方法八、基本不等式法方法介绍基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法.中学数学竞赛中常见的基本不等式有：(1)平均值不等式；(2)柯西不等式；(3)绝对值不等式；(4)函数的单调性的应用.例题精讲例1设是椭圆的任意一点，是椭圆的两个焦点，试求的取值范围.注：设，则，由焦半径公式得，所以，当时等号成立.例2数列定义如下：.求证：对任意，均有.注：由条件可知对任意，.另一方面，当时，.设时，有.若，则；若，则.所以总有.下略.例3已知，求证：.注：利用公式（平方平均值），可得左边=右边.另法1：利用公式，可得左边，下略.

2、另法2：利用公式，可得第7页共7页左边.另法3：利用柯西不等式，可得左边.例4设是给定的正数，若对所有非负实数均有，求实数的最大值.注：(1)若，则，当或时取等号，此时的最大值为1；(2)若，则，当取等号，此时的最大值为.例5设实数满足，求证：.注：由柯西不等式得，所以，故.例6设为锐角，且，求证：.注：由为锐角得，又（*）于是，故，代入（*）式得，，所以，只能是.另法：若，则，同理，故，与矛盾，所以.例7已知不等式对于恒成立，求的取值范围.注：设，则，从而原不等式可化为，也即为第7页共7页，故，故，即对恒成立，从而只要，又容易证明在上递减，所以.例8

3、设.求证：.注：因为，所以原不等式等价于，由柯西不等式得；.又，故.又，故.下略.例9求函数的值域.注：，设由知，，等号当同向取到，此时.说明：本题亦可构造距离求解.例10已知为实数，函数，当时，.求的最大值.注：因，故，第7页共7页.当，或，即或或时，上式中的两个同时取到.例11将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为，求达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.注：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每

4、点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种.下求使达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣统两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，则，取等号当且仅当，即每一段弧上的小球编号都是由1到9递增排列，因此.由上知，当每个弧段上的球号确定之后，达到最小值的排列方案便惟一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们对应为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应圆周上使达到最小的惟一排法，即有利事件总数有种，故所求概率为.同步操练1．

5、设，且，则下列关系中不可能成立的是（）A.B.C.D.注：利用函数的图象及，选D.2．使关于的不等式有解的实数的最大值是.注：由柯西不等式得，当时取到等号，因原不等式有解，故.3．给定正数，其中，若是等比数列，是等差数列，则一元二次方程的根的情况是.注：由题意得，于是，进而可得，于是，无实根.4．直线与椭圆相交于两点，该椭圆上点使得的面积等于3，则这样的点共有个.第7页共7页注：设，即点在第一象限的椭圆上，考虑四边形的面积，所以，因，所以的最大值为，故点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点满足条件.5．已知都在区间内，且，则函数的最小值为.注：

6、消去之后，可得，求得函数的最小值为.6．已知正实数满足，则的整数部分是.注：因，故，又，所以的整数部分是2.7．用一张长16厘米、宽10厘米的矩形铁皮，四角各截去一个正方形，折成一个无盖铁盒，由此铁盒的最大容积是.注：设正方形边长为（单位：厘米），则，于是，当时等等号成立，故最大容积为144立方厘米.8．已知是定义在上的函数，，且对任意，都有，若，则.注：由得，所以即，所以，所以，即是以1为周期的周期函数，又，故.9．函数的值域为.注：构造向量，则，而，又不同向，所以；另一方面，故，于是值域为.10．过定点作直线分别交轴正向和轴正向于，使的面积最小，则

7、的方程为.注：设直线，则，等号在时取到，所以使面积最小的直线方程为.11．在中，是角的对边，且满足，则角第7页共7页的最大值是.注：，当时，等号成立，故.12．设，若时，恒成立，则实数的取值范围是.注：易知为奇函数，又在上是增函数，故，令，则恒成立，即.当时，；当时，，由函数在上递减，知当时，于是得.综上所述，.13．设，求的最大值为.注：.14．设椭圆有一个内接，射线与轴正向成角，直线的斜率适合条件.(1)求证：过的直线的斜率是定值；(2)求面积的最大值.注：(1)直线，代入，得，设直线的方程分别为，得，从而，于是为定值.(2)设直线方程为，故，，而

8、点到直线的距离为，于是，当，即时，取到最大值.15．已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为.