宽象限相依随机变量部分和的中偏差及其在保险中的应用

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1、数学年刊2015，36A(4)：375—388DOh10．16205~．cnki．cama．2015．0035宽象限相依随机变量部分和的中偏差及其在保险中的应用木杨洋林金官王定成。提要研究了控制变换尾分布的宽象限相依实值随机变量部分和的中偏差．相应于所得到的理论结果，进一步给出了在相依保险风险模型中的两个应用：一是在基于顾客到达过程的保险风险模型中，保险公司盈余的渐近估计；二是在复合更新风险模型中，有限时和无限时破产概率的一致渐近估计．关键词中偏差，宽象限相依，控制变换，基于顾客到达过程的保险风险模型，复合更新风险模型MRf2000)主题分类60F10，62E20，62P05中图法

2、分类o211．4文献标志码A文章编号1000—8314(2015)04-0375—141引言假设{，扎≥1)是一列相依同分布的实值随机变量(简称r．V．s)，具有共同的分布函数(简称d．f_)F(x)=1一-F(x)<1对所有的x>0，和有限均值．对k≥1，记k{，礼≥1)的部分和为Sk=∑Xi．在本文中，将在对{，几≥1)施加一定的约束条=l件下，研究尾概率p(一凡>x)在x的某个区域中的一致渐近性态，其中n—oo．该领域已有的诸多研究主要集中在精致大偏差上，即研究对任意固定的，y>0，渐近关系式p(一礼>x)^一nF(x)，n．_+∞(1．1)是否对所有的x≥几一致成立．(1．

3、1)中的一致性是指p(Sn一礼>x)————————==—————————一nF(x)早期关于精致大偏差的经典结果要求{，几≥1)是非负且独立的随机变量．对于实值相依{，n≥1)的情形，参见Tang[，Liu[，Liu[引，Wang等[4]，Yang和Wang[1等．相对于大偏差，中偏差的应用更为广泛．记a(t)(t≥0)是正函数，且满足(1．2)本文2014年7月15日收到，2015年4月7日收到修改稿．通信作者．南京审计学院江苏省金融工程重点实验室，南京211815；东南大学经济管理学院，南京210096．E—mail：yyang@nau．edu．cn；yyangmath@gm

4、ail．corn东南大学数学系，南京210096．E—mail：jglin@seu．edu．an0南京审计学院江苏省金融工程重点实验室，南京211815．E—mail：wangdcQnau．edu．cn本文受到国家自然科学基金(No．71471090，No．71271042)，教育部人文社会科学研究青年基金(No．14YJCZH182)，中国博士后科学基金(No．2014T70449，No．2012M520964)，江苏省自然科学基金(No．BK20131339)，江苏省高校自然科学基金重大项目(No．15KJAll0001)，江苏省青蓝工程，江苏省高校优秀科技创新团队项目，江苏高

5、校优势学科建设工程，江苏省高校金融工程重点实验室和江苏省十二五重点建设学科(统计学)项目的资助．376数学年刊36卷A辑其中对于实数Y，l表示小于或等于Y的最大整数．本文通篇假设，对某个1<0，(1．1)对所有的X>70(n)成立．显然，特别选取a(t)=t，中偏差即退化为大偏差．这表明中偏差可以在更大的区域中一致成立，因而应用更加广泛．受Liu[。1启发，本文考虑了相依随机变量{，-n≥1)部分和的中

6、偏差结果．近来，Liu[。】在广义负相依结构下得到了一致变化尾分布随机变量的中偏差．本文的目标是将Liu的结果推广到宽象限相依结构和控制变换尾分布随机变量的场合．在给出本文的主要结果之前，首先介绍一些重尾分布族和宽象限相依结构的概念和性质．一个重要的重尾分布族是控制变换尾分布族．称分布是控制变换尾的，记为V∈，若对任意的00，lim=1．进一步地，对于分

7、布，定义其上和下Matuszewska指标分别为=一minf’∞log，其中：一i。。V(z1，，Y⋯：m，其中Y)==1imsup’y--*oologY_o。V(1，．⋯此外，定义另一个重要的参数：=lim()．则下列命题等价：(i)V∈；(ii)一V()>．0，对任意Y>1；(iii)Lv>0；(iv)<。。．注意到，当且仅当L=1时，V∈c，参见Bingham等[7]．下列命题源自Tang和Tsitsiashvili[】的引理3．5．命题1．1若分布V∈口，则(