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《2019年高考数学一轮复习专题突破练4立体几何中的高考热点问题理北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题突破练(四) 立体几何中的高考热点问题(对应学生用书第293页)1．如图7所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：图7(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.[证明] (1)如图，建立空间直角坐标系Axyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴＝(－2,4,0)，＝(
2、－2,4,0)，∴＝，∴DE∥NC.又∵NC平面ABC，DE⃘平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)．·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF.又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.2．(2018·贵州适应性考性)如图8(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图8(2)所示的空间图形，使二面角ADEC的大小为θ.(1) (2)图8(
3、1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)若θ＝，求直线AE与平面ABC夹角的正弦值.[解] (1)证明：在图(1)等腰直角三角形ABC中，AB⊥BC，而DE为该三角形的中位线，∴DE∥BC，∴DE⊥AB.由翻折可知DE⊥AD，DE⊥DB，又AD∩DB＝D，∴DE⊥平面ADB，∴BC⊥平面ADB，又BC平面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC.(2)由(1)可知，∠ADB为二面角ADEC的平面角，即∠ADB＝θ＝.又AD＝DB，∴△ADB为等边三角形．如图，设O为DB的中点，连接OA，过O作OF∥BC交BC于点F，则AO⊥BD，OF⊥BD.又AO⊥BC，
4、BD∩BC＝B，∴AO⊥平面BCED.以O为坐标原点，OB，OF，OA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BD＝2，则A(0,0，)，B(1,0,0)，C(1,4,0)，E(－1,2,0)，＝(1,0，－)，＝(1,4，－)，＝(－1,2，－)．设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则有即令z＝1，则x＝，y＝0，则n＝(，0,1)，设AE与平面ABC的夹角为α，则sinα＝＝.3．(2018·北京海淀区期末练习)如图9，在三棱锥PABC中，侧棱PA＝2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，A
5、D⊥DB，DB＝1.图9(1)求证：AC∥平面PDB；(2)求二面角PABC的余弦值；(3)线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)证明：因为AD⊥DB，且DB＝1，AB＝2，所以AD＝，所以∠DBA＝60°.因为△ABC为正三角形，所以∠CAB＝60°，所以DB∥AC.因为AC⃘平面PDB，DB平面PDB，所以AC∥平面PDB.(2)由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，所以PD⊥DA，PD⊥DB.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知B(1,0,0)，A(0，，0)，P
6、(0,0,1)，C(2，，0)．所以＝(－1，，0)，＝(－1,0,1)．平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则由可得令y＝1，则x＝，z＝，所以平面PAB的一个法向量m＝(，1，)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，由图可知二面角PABC的平面角为钝角，所以二面角PABC的余弦值为－.(3)由(2)可得＝(1，－，0)，＝(2，，－1)，因为·＝－1≠0，所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE.4．(2017·全国卷Ⅲ)如图10，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD
7、是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.图10(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值．[解] (1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB为二面角DACB的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故
8、∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x
