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《2018专题突破练4 立体几何中的高考热点问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题突破练(四)立体几何中的高考热点问(对应学生用书第320页)1.如图7所示，已知直三棱柱48CY01C1屮，N4BC为等腰直角三角形,Z5/1C-900,UAB=AAlfD,E,F分别为B4,C
2、C,EC的中点.求证：WBFC图7(1)DE〃平面MC；(2)QF丄平面/EF.［证明］(1)如图，建立空间直角坐标系A-xyz,令AB=AA=4t贝2(0,0,0),£(0,4,2),F(2,2,0),5(4,0,0),5^4,0,4).取力3中点为N,连接CN,则M2,0,0),C(0,4,0),02,0,2),・••旋=(一2,4,0),M?=(-2,4,0),:.DE=NC,:.
3、DE//NC.又•:NCu平面ABC,DEQ平面4BC.故DE〃平面ABC.(2)乔=(—2,2,-4),£F=(2,—2,—2),乔=(2,2,0).57?«£F=(-2)X2+2X(-2)+(-4)X(-2)=0,乔•乔=(—2)X2+2X2+(—4)X0=0.・••乔丄詡，乔丄姑，即BF_LEF,BF丄4F.又・・・AFCFE=F,:・B、F丄平面AEF.1.(2018-贵州适应性考性)如图8①，在等腰直角三角形MC中，ZB=90°,将A/BC沿中位线DE翻折得到如图8②所示的空间图形，使二面角A-DE-C的大小为彳0＜〃＜罗.(1)求证：平面丄平面/1BC；JT⑵若d=y求直
4、线ME与平面/BC所成角的正弦值.【导学号：97190263】［解］(1)证明：在图①等腰直角三角形ABC中，4B丄BC,而DE为该三角形的中位线，:.DE//BC,:・DE丄力3由翻折可知QE丄AD,DE丄DB,又ADQDB=Df:.DE丄平面ADB,:.BC丄平面ADB,又ECU平面ABC,・•・平面48D丄平面ABC.(2)由(1)可知，ZADB为二面角A-DE-C的平面角，TT即ZADB=6=y又AD=DB,:./ADB为等边三角形.如图，设O为D3的中点，连接04,过O作OF//BC交BC于点F,则AO丄BD,OFA.BD.又/O丄BC,BDCBC=B,:.AO丄平面BCED
5、.以O为坐标原点，OB,OF,0/分别为x轴、尹轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系•设BD=2,则力(0,0,羽)，5(1,0,0),C(1,4,0),E(-1,2,0),鮎=(1,0,一羽),花=(1,4,一曲,莊=(—1,2,一苗.设w=(x,尹，Z)为平面ABC的法向量，nAB=0f则有]_b•花=0,x—y/3z=0f.x+4尹一羽z=0,令z=1,则x=y[i,y=0f则n=(y[3,0,1),设/E与平面/BC所成的角为af.AE'n^6则sina——4・砌I3・(2018-北京海淀区期末练习)如图9,在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形，边长
6、为2,顶点P在平面ABC上的射影为D,兄D丄DB,DB=L(1)求证：AC//nPDB；(2)求二面角P-AB-C的余弦值；(3)线段PC上是否存在点E使得PC丄平面ABE,如果存在，求修的值；如果不存在，请说明理由.［解］(1)证明：因为/D丄且QB=1,4B=2,所以4D=晶所以ZDBA=60°.因为△ABC为正三角形，所以ZC4B=60。,所以DB//AC.因为/CQ平面PDB,DBU平窃PDB,所以/C〃平面PDB.(2)由点P在平面ABC上的射影为D可得"丄平面ACBD,所以加丄D4,PD1DB.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知5(1,0,0),力(0,^3,0),P(0
7、,0,l),C(2,^3,0).所以菇=(一1,羽，0),丽=(一1,0,1)・平面ABC的一个法向量72=(0,0,1),设m=(x,y,z)为平面DIB的法向量，则由［越•加=0,丽加=0可得—%+^3)/=0,_x+z=0,令夕=1,则x=J5,z=书,所以平面丹B的一个法向量m=(书,1,寸5),所以cos〈m,、加卫⑴迈T2=顾=后1=7由图可知二面角P-AB-C的平面角为钝角,所以二面角P-AB-C的余弦值为一卑「(3)由(2)可得应=(1,—羽，0),PC=(2,羽，-1),因为Pb鮎=—iho,所以pc与不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC丄平面ABE.4.(201
8、7-全国卷III)如图10,四面体ABCD中，厶ABC是正三角形,△/CQ是直角三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD.(1)证明：平面/CD丄平面/BC；(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.［解］(1)证明：由题设可得△ABD竺MBD,从而AD=CD.又△/CD是直角三角形，所以ZADC=90°.取/C的中点O,连接DO,BO,则DO丄AC,DO=AO.又
