数学竞赛专题(老师总结的)

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1、专题一极限、连续1：“”型函数的极限[1]分子或分母先因式分解，然后约分求值（分子和分母均为有理式）例1求[2]有理化分子或分母，然后约分求值公式：例2求极限(1)(2)[3]利用等价无穷小替换求极限常见的等价无穷小：变量在变化的过程中，下列各式左边均为无穷小，则①□～□②tan□～□③arcsin□～□④arctan□～□⑤ln(1+□)～□⑥-1～□⑦1-cos□～⑧(1+□)-1～α□等价无穷小替换的原则：①只对函数的因子可作等价无穷小替换②该因子首先必须是无穷小量例3求极限(1)（2）2：“”型（分子和分

2、母同时除以变量x的次数最高项）[1]分子和分母均为有理式例4求极限(1)(2)[2]分子和分母均为根式例5求极限683：“”型[1]通分后，利用因式分解约分等方式求值例6求极限[2]有理化分子，利用“”型的方法求值例7求极限4：“”型（公式的利用）分析：①判断是否是“”型②转换成（1+□）的形式③则[（1+□）]例8求极限（1）(2),求5：无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量例9求极限6：用罗必达法则求极限注意:①零因式最好先用等价无穷小替换②非零因式的极限可以先求出来[1]“”型和“”型（）例10求极限(1)（

3、2）（3）（4）68（5）（6）设在连续，，为常数，求[2]“”型=其中f(x)→0,g(x)→∞注：①如f(x)或g(x)是ln[φ(x)]的形式，则该函数一般在分子②分母一般较分子简单例12求极限(1)（2）（讨论）[3]“”型﹑“”型﹑“”型例13求极限(1)(2)（3），求[4]“”型分析：一般采用通分的方式转化为“”型和“”型，然后利用罗必达法则及等价无穷小替换求极限例14求极限68(1)（2）(令)7:不能用罗必达法则求解的“”型和“”型分析：一般采用等价无穷小替换和无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量

4、例15求极限8:利用麦克劳林公式求函数的极限注意:下列公式中,(1)(2)(3)(4)(5)例16求极限（1）（2）（3）（4）9:利用定积分的定义求极限方法：如果存在，则例17求极限（1）解：（2）68解：（3）解：因为由于故10:利用级数收敛的必要条件求极限方法：如果级数收敛，则例18求极限（1）解：令则故级数收敛，则（2）（同上）11:利用夹逼准则求极限例19（1）求极限68(2)12:已知数列的递推式，证明数列极限存在，并求极限方法：利用“单调有界函数必有极限”处理（1）由先判断数列单调，即判断的正、负或

5、判断比1大还是小（2）假设的极限存在，并估算极限，计算判断数列有界（3）求数列的极限例20（1）求极限，，，…….解：因为由于和同号，依次类推可知和同号，故，即，数列单调增加又因为依次类推知和同号，即且，故数列单调有界必有极限设，则由知得，即注意：这里为什么用和3比较大小判断数列有界呢？因为我们首先假设数列有极限时，算出它的极限为3，然后用和3比较。（2）设，（），求分析：可用均值定理确定上、下界68解：因为所以数列有下界，又因为故数列单调减少，有极限为(3)设,证明数列、收敛，并且有相同的极限解：因为，，所以即

6、又因为即数列有上界因为而即数列有下界，故，故两个数列极限都存在设和有，求得13:利用幂级数的和函数求极限例21求极限6814：利用积分中值定理求极限例22求15：利用左右极限的定义求函数的极限例23（1）（2）16：利用导数定义、罗必达法则、麦克劳林公式求含有抽象函数的极限常用方法：（1）如果，且，则（2）利用等价无穷小替换（3）函数在处可导函数在处连续，即（4）利用导数的定义，即，其中例24（1）设连续，，求解：因为且，所以而连续，故即（2）设f(x)在x=a可导，f(a)>0，求解：68（3）设在连续，且，求

7、解：因为且，所以即又因为在连续，所以，故=4（4）已知，则分析：，则所以（5）设在点二阶可导，且，求和的值分析：因为在点二阶可导，故连续，由于且，故，即用罗比达法则，所以68（6）为常数，可导分析：（7）设在的某个邻域内有连续导数，且，求，（8）设在上可导上可导且恒正，，又，求（9）设存在，则（1）（2）（10）连续，，，求分析：由知，由知而故17已知极限，求待定系数的值68[1]已知且，则(注意罗必达法则)例25(1)已知求a,b(2)已知求a,c的关系(3)已知求a,b[2]例26已知求a,b[3](注意罗必

8、达法则的应用)例27已知,求a,b18：用极限表示的函数例28（1）讨论函数的连续性(2)设，如在处可导，求19：求函数的间断点并判断间断点的类型68例29（1）（2）注意：1、欧拉公式，其中，为欧拉常数求极限2、利用公式（1），则（2），则求极限3、利用求极限求极限4、几种常见的极限（1）（2）（）（3）（4）（5）（6）（7）（8）专题二导数、微分1、利用导数定义求函