竞赛数学数论专题

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1、数论数论素有“数学皇后”的美称。由于其形式简单，意义明确，所用知识不多而又富于技巧性，千姿百态，灵活多样。有人曾说：“用以发现数学天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。”因此在理念的国内外数学竞赛中，几乎都离不开数论问题，使之成为竞赛数学的一大重要内容。1.基本内容竞赛数学中的数论问题主要有：（1）整除性问题；（2）数性的判断（如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等）；（3）余数问题；（4）整数的分解与分拆；（5）不定方程问题；（6）与高斯函数有关的问题。有关的基本知识：关于奇数和偶数有如下性质：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶

2、数=偶数.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个.奇数奇数=奇数；奇数偶数=偶数；偶数偶数=偶数.若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个偶数.若是整数，则与有相同的奇偶性；若、是整数，则与奇偶性相同。关于整数的整除性：设是整数，则；若，则；若，则对任意整数，有.若在等式中，除某一项外，其余各项都能被整除，则这一项也能被整除.若，且，则.若，且，则.设是素数，若，则或.关

3、于同余：若，则.分别被除，余数相同.同余具有反身性:、对称性:若，则、传递性：若，则.2.方法评析数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。因此数论问题的方法多样，技巧性高，富于创造性和灵活性。在竞赛数学中，解决数论问题的常用方法有因式分解法、估值法、调整法、构造法、反证法、奇偶分析法等等。2.1因式（数）分解例1证明无穷数列10001，100010001，……中没有素数。证明：设，则当为偶数，设，所以为合数。当为奇数，设，所以为合数。评析：对分奇偶，分情况讨论，问题变得清晰易证。同时注意，若为奇数时，可分解因式。例2证明对任意整数，不是素数。

4、证明：当为偶数时，为偶数，所以为合数；当为奇数，设，则所以为合数。评析：对适时地进行奇偶性讨论，不失为一种证明思路。同时应注意，可作因式分解。例3设正整数满足。证明：不是素数。证明：由于，则设，其中，则故所以为合数。评析：此题中采用方法可扩展如下：若，不妨设,则，且由于，所以，即所以，故。同理可证，所以同理可得例4证明：若正整数满足，则和都是完全平方数。证明：因，即故只需证和互质。设,即证则由于，所以，又，则。所以，故得证。故和互质，所以和都是完全平方数。评析：有时，适当的因式分解可以使问题简化，以证得结论。例5一个正整数，加上100为一个完全平方数，

5、若加上168则为另一个完全平方数，求这个数。解：设这个数为，则其中（注：限定正的可减少讨论）。故，从而与则等于把拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。又由于，且与同奇偶性，故所以。则。评析：此题利用平方差公式，再考虑因数分解，便于讨论以确定某些式子的值，最终求得解。例6求方程的全部整数解。解：对原方程进行变形、因式分解左边四个括号内奇偶性相同，而为偶数，故括号内每个都为偶数，则应出现，矛盾。所以原方程无整数解。评析：将所有字母项放在一起，进行因式分解，再与另一侧数字项对比讨论，推出矛盾。例7证明：两连续正整数之积不能是完全平方数，也

6、不能是完全立方数。证明：若有两连续正整数之积为完全平方数，设（），则，则与均为完全平方数。故存在正整数使得，从而这与矛盾。所以两连续正整数不能是完全平方数。若有两连续正整数之积为完全立方数，设（），则，则与均为完全立方数。故存在正整数使得，从而这与矛盾。所以两连续正整数不能是完全平方数。评析：此题运用因式分解和反证法，分析论证推出矛盾。2.2估值法例8证明方程没有的整数解。证明：对原方程进行变形、因式分解设，若，设为的素因数，则又，故，从而，所以，这与为素因素矛盾。与均为完全立方数。设，则由得，又，则当时，则这与矛盾。故没有非零整数解。当时，则这与矛盾

7、。故没有非零整数解。评析：因式分解与互素性质相结合，分情况讨论，推出矛盾，题目得证。例9在两个相邻的完全平方数与之间任取若干个不同的整数，证明它们中两两乘积互不相同。证明：只需证明若则若，则设（见例3），则，即，矛盾故在两个相邻的完全平方数与之间任取若干个不同的整数，它们中两两乘积互不相同。评析：与例三的思想方法大同小异，因为它们都利用的结论。例10求不定方程的全部正整数解。解：当时，无解；当时，，有；当是，为偶数，必为奇数。当时，，当时，当时，，故，则而所以，则，故，与矛盾，则无解。综上，不定方程的正整数解为（2，1）、（3，1）、（5，2）。评析：

8、通过分析估计归纳，对分类讨论，一一得出结果。