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1、函数(二)三.函数的周期性函数的周期性 如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期. 一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.例1已知函数f(x)，对任意实数x，有下面四个关系式成立：（1）f(x)=－f(x+a)（a为非零常数）；（2）f(x)=f(a－x)（a为非零常数）；（3）f(a－x)=f(b－x)（a,b为常数且a2+b2≠0）【例题讲解】（4）f(a－x)=－f(b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0）其中使f(
2、x)是周期函数的关系式是_______．【解】考查（1），f(x)=－f(x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：f(x)=－f(x+a)=f(x+2a)∴等式（1）使f(x)是周期函数，且2a是周期；考查（2），f(x)=f(a－x)表明函数f(x)的图像关于直线对称，这不一定能使其为周期函数；考查（3），f(a－x)=f(b－x)表明自变数相差a－b时，函数值相等，即f(x)=f(a－b+x)∴等式（3）使f(x)是周期函数，且a－b是周期．考查（4），f(a－x)=－f(b－x)表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数
3、，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使f(x)为周期函数，且2（a－b）是周期．综上所述，应填（1），（3），（4）．例2f(x)是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x∈(0，1)时，则f(x)在（1，2）上（A）是增函数，且f(x)＞0（B）是减函数，且f(x)＞0（C）是增函数，且f(x)＜0（D）是减函数，且f(x)＜0【讲解】认识f(x)在（1，2）上的性质，可以把f(x)在（1，2）上的解析式求出来，或者由f(x)的性质去推断：∵f(x)的周期是2．∴f(x)在（1，2）和（－1，0）的性质一致，∵f(x)是奇函数，∴f(x)
4、在（－1，0）和（0，1）上的增减性相同，但符号相反．因此，函数f(x)在（0,1）上与（1，2）上的增减性相同，而符号相反．【解法1】0＜x＜１0＜１－x＜１在（0，1）上，1－x是减函数，是增函数是增函数，于是，f(x)在（1，2）上是增函数，且f(x)＜0．故选（C）．【解法2】设x∈(1，2)则－1＜x－2＜0且f(x)=f(x－2)，∵－1＜x－2＜0,∴0＜2－x＜1于是，∵f(x)是奇函数，∴f(2－x)＝－f(x－2)，∴可见，f(x)在（1，2）上是增函数，且f(x)＜0故选（C）．例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x)
5、,求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x＋m)＝－f(x) 所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝－f(x＋m) ＝f(x) 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x＋m)＝f(x－m) 令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m 于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立， 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝,求证:2m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋
6、m]＝f(x) 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证:4m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]于是f(x＋4m)＝－＝f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x), 求证:2
7、a－b
8、是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a＞b 于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b)) ＝f(a－(x＋a－2b))＝f(2b－x) ＝f(b－(x－b))＝f(b＋(x－b
9、))＝f(x) ∴2(a－b)是f(x)的一个周期 当a＜b时同理可得 所以，2
10、a－b
11、是f(x)的周期例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2) 两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2) 即：f(x＋3)＝－f(x) ∴f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334 ∴f(2004)＝f(0)＝2004例9f(x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f(x
