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1、九年级数学竞赛专题第一讲因式分解一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（）A．(2a+3)()2a-3)=4a-9;B．4m-9=(2m+3)(2m-3)C．m-16+3m=(m+4)(m-4)+3m;D．2x(y+z)-3(y+z)=2xy+2xz–3y–3z2．下面各式的因式分解中，正确的是（）A．-7ab–14+49aby=7ab(1-2x+7y);B．C．6;D．xy(x–y)–x(y–x)=x(x–y)(y–1)3．下面各式的因式分解中，正确的是（）A．B．C．D．4．下面各式的因式分解中
2、，正确的是（）A．ab–a+b+1=(a–1)(b+1)B．4xy+1–4C．3a–3b+3x–bx=(a–b)(3–x)D．5．下列因式分解的变形中，正确的是（）A．B．C．D．二、填空题1．在代数式中是完全平方式的是__________。2．若：被2x–3除后余3，则商式是__________，且a=__________。3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25-65-厘米的正方形，则剩下的面积就是___________。4．乘积=________________。5．已知一个正六位数，前三位
3、数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数___________整除。三、解答题1．分解因式;;;;;;2．已知三角形的三条边a,b,c适合等式：，请确定三角形的形状。3．已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。-65-4．已知：2x–3和3x+1是f(x)=的因式，求a,b的值。5．证明：（1）若n为整数，则一定是8的倍数；（2）若n为正整数时，-n的值必是6的倍数；（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。答案-65-一、选择题1．B2．C3．D4．D5．C提示：1．依据因式分解的定义
4、：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。只有选项B正确，其中选项A、D均为整式乘法。2．按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项C正确。3．利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底。4．利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D正确。5．利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C正确，选项B非恒等变形。二、填空题：1．1；2．X+4.5；3．11
5、0平方厘米；4．；5．7、11、13提示：1．若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有（1）式=是完全平方式。2．根据题意，利用大除法：∴a=5∴，即：商式为x+4，且a=5.3．依题意，原正方形面积为厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差公式：乘下的面积就是12.75-7.25=(12.75+7.25)(12.75-7.25)=110平方厘米-65-4．原式5．依题意，设所求的站位数为：，a,b,c均为自然数，则∵1001=7×11×13，∵a,b,c为自然数，∴100a+10b+c为
6、自然数∴7三、解答题1．分解因式：（1）十字相乘法：原式（2）配方法：原式=（3）配方法：原式（4）原式=（5）法1：原式=-65-法2：原式=（6）法1：原式=法2：原式=（7）原式=（8）反数法：原式=-65-2．解，依题意：而∵a,b,c为三角形的三边长∴a+b+c>0∴∵∴只有∴a=b=c，即三角形为等边三角形注：也可如下分解：原式=3．解：设这三个奇数依次为n–2,n,n+2，其中n为自然数，则n>2，则依题意：(n-2)+n+(n+2)=2513n=243n=81∴n=9或-9当n=9时，n–2=7,n+2
7、=11;当n=-9时,n–2=-11,n+2=-7.所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-114．解：若(2x–3)和(3x+1)都是f(x)=ax+bx+32x+15的因式，则(2x–3)(3x+1)=6x-7x–3能整除f(x)。解法1：利用多项式与多项式的大除法：-65-∴∴a=6且b=-37即：解法2：∴∴n=-5,m=1,b=-37,a=6即5．证明：（1）∵∵n为整数，∴8
8、8n.即8
9、(2n+1)-(2n-1)命题得证；（2）∵n为正整数，(n+1)和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，所以，2
10、
11、n(n+1)；而(n-1),n,(n+1)是连续3个整数，必有一个是3的倍数，所以3
12、(n-1)n(n+1),即6
13、(n-1)n(n+1)。命题得证。（3）设这四个连续自然数依次为n–2,n–1,n,n+1，其中n>2且n为自然数，则依题意：(n–2)(n–2)n(n+1)+1-65-=(n–2)(n+1)(n–1)n+1=(n
