高考数学资料——5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(5)_空间向量在立体几何中的应用

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1、-第三节空间向量在立体几何中的应用一、填空题1.若等边的边长为,平面内一点满足,则_________2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。【解析】设由可得故【答案】(0,-1,0)二、解答题3.(本小题满分12分)如图,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II)证明平面AMD平面CDE;(III)求二面角A-CD-E的余弦值。如图所示,建立

2、空间直角坐标系,点为坐标原点。设依题意得--(I)所以异面直线与所成的角的大小为.(II)证明:,(III)又由题设,平面的一个法向量为4.(本题满分15分)如图,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,,的中点,,.(I)设是的中点,证明:平面;(II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.--证明:(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面6.(本小题满分12分)如图,已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一

3、平面内,M,N分别为AB,DF的中点。(I)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;(II)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线。设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.--则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2).又=(0,0,2)为平面DCEF的法向量,可得cos(,)=·所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos·……6分(Ⅱ)假设直线ME与BN共面,……8分则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN由

4、已知,两正方形不共面,故AB平面DCEF。又AB//CD,所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB//EN。又AB//CD//EF,所以EN//EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立。所以ME与BN不共面,它们是异面直线.……12分--7.(13分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,,,且MD=NB=1,E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由17.解析:(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标依题意,

5、得。,所以异面直线与所成角的余弦值为.A(2)假设在线段上存在点,使得平面.,可设又.由平面,得即--故,此时.经检验,当时,平面.故线段上存在点,使得平面,此时.8.(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,、分别为、的中点,平面(I)证明:(II)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小。分析一:求与平面所成的线面角,只需求点到面的距离即可。19.(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)如题(19)图,在四棱锥中,且;平面平面,;为的中点,.求:(Ⅰ)点到平面的距离;(Ⅱ)二面角的大小.(Ⅰ)如答(19)图2,以S(O)为坐标原点,射线OD,OC分别为x

6、轴,y轴正向,建立空间坐标系,设,因平面即点A在xoz平面上,因此--又因AD//BC,故BC⊥平面CSD,即BCS与平面yOx重合,从而点A到平面BCS的距离为.(Ⅱ)易知C(0,2,0),D(,0,0).因E为BS的中点.ΔBCS为直角三角形,知设B(0,2,),>0,则=2,故B(0,2,2),所以E(0,1,1).在CD上取点G,设G(),使GE⊥CD.由故① 又点G在直线CD上,即,由=(),则有 ②联立①、②,解得G= ,故=.又由AD⊥CD,所以二面角E-CD-A的平面角为向量与向量所成的角,记此角为.因为=,,所以故所求的二面角的大小为.--作于

7、,连,则,为二面角的平面角,.不妨设,则.在中,由,易得.设点到面的距离为,与平面所成的角为。利用,可求得,又可求得即与平面所成的角为分析二:作出与平面所成的角再行求解。如图可证得,所以面。由分析一易知:四边形为正方形,连,并设交点为,则,为在面内的射影。。以下略。分析三:利用空间向量的方法求出面的法向量,则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。9.(本小题共14分)如图,四棱锥的底面是正方形,--,点E在棱

8、PB上.(Ⅰ)求证:平面

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