单级倒立摆极点配置与二次型最优控制

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1、控制系统CD技术与应用CONTROLSYSTEM青岛科技大学自动化学院 张统华摘要：为了使单级倒立摆的双摆始终保持在垂直姿态，通过对单级倒立摆系统结构和动力学分析，建立了合理的状态空间模型并进行了线性化处理，分别通过极点配置和二次型最优控制进行了控制优化，并在Matlab中进行了仿真分析，实现了对摆杆的控制。研究结果表明，二次型最优控制具有更好的响应性能和算法简单等特点，在实际应用中具有重要意义。文章编号：140403单级倒立摆极点配置与二次型最优控制PoleplacementandquadraticoptimalcontrolfortheSingle-stageinvertedpendu

2、lum1引言井平台的稳定控制和飞行器着陆过程等领域中有倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、重要意义，研究倒立摆的精确控制策略对工业生绝对不稳定、高阶次和强耦合系统。倒立摆仿真产中复杂对象的控制有着重要的应用价值。线性或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制二次型最优控制问题其目标函数是属于二次型形理论或方法之有效性的典型方案。倒立摆系统的式的最优控制。这种控制问题在现代控制理论中研究能有效反映控制中的非线性、鲁棒性、镇占有非常重要的地位，越来越受到控制界的高度定、随动以及跟踪等典型问题。同时倒立摆的动重视，这是因为它的最优解具有标准的解析式，态过程与人类的行走姿态类似，其平衡与火箭的它

3、不局限于某种特定物理系统，而且经过人们的发射姿态调整类似，因此倒立摆在研究双足机器多次实验，证明这样可以很容易获得解析解，且人直立行走、火箭发射过程的姿态调整、海上钻可以形成简单的线性状态反馈控制规律，容易构成最优反馈控制，在工程中便于实现，所以广泛应用于实际的工程问题中。本研究主要探讨单级倒立摆极点配置与二次型最优控制。2单级倒立摆结构单级倒立摆系统的物理模型可以描述为：在光滑水平平面上摆放着滑轨，在滑轨上放置着可以左右自由移动的小车，一根视为刚体的摆杆通过其底端的一个不计摩擦的固定端点与小车相连构成一个倒立摆。单级倒立摆可以在平行于滑轨的范围内随意摆动。倒立摆控制系统的目的是在系统的初

4、始状态不为零时，由设计的控制器对图1单级倒立摆系统结构示意图小车作用一个力（控制量），使小车停在给定位7475图4优化加权阶跃响应曲线图2阶跃响应曲线图3随机加权阶跃响应曲线置且倒立摆的摆杆仍然保持竖直向上状态。当小考虑到摆杆在设定点θ=0附近做微小振动，车静止的情况下，由于受到重力的作用，导致倒对式（2）进行局部线性化，即用cosθ≈1，立摆的稳定性发生不可逆转的破坏而使倒立摆无sinθ≈0做近似处理后，可得：法复位，所以小车在平行于滑轨的方向上产生加（3）速度。根据牛顿力学原理，这里的作用力（控制量）与小车位移对时间的二阶导数存在线性关因，代入（3）得到：系，所以说单级倒立摆系统是一个

5、非线性系统。在各种摩擦忽略不计之后，可将单级倒立摆（4）系统抽象成小车和均匀质量摆杆组成的系统，单级倒立摆的结构简图如图1所示。假设单级倒立摆的输入u为作用于小车上的外图中，设M为小车质量（kg）；s为小车的位力F，输出为小车的位置s和摆杆与垂直方向的夹移；l为摆杆的半长（m）；F为作用在小车上的外角θ。现选择四个状态变量：分别为小车位移s、力；θ为摆杆与垂直方向的夹角；mg为摆杆所受小车速度、摆杆与垂直方向的夹角θ、摆杆角速重力；N和P分别为摆杆与小车之间相互作用力水度，建立状态空间方程如下：平和垂直分量；I为摆杆转动惯量。单级倒立摆的控制目标是：由倒摆和小车组成的倒立摆在适当的控制u，

6、在有限长度的导轨上，受到干扰后，倒立摆仍然能够迅速的恢复到（5）平衡位置，即θ≈0，且小车位移s≈0（图1）。3单级倒立摆系统的建模与仿真分析3.1单级倒立摆系统的建模将某倒立摆系统各参数的参考数据M=0.9，运用牛顿力学方法分别建立摆杆围绕其质心l=0.5，m=0.15，g=9.8代入式（5），可得倒立的转动运动方程、摆杆质心的水平运动方程、摆摆的状态空间表达式：杆质心的垂直运动方程和小车的运动方程为：（1）对（1）式进行整理，可得到单级倒立摆系统（6）的运动方程为：3.2仿真分析（2）令加权矩阵75kzcd.chuandong.com控制系统CD技术与应用CONTROLSYSTEMP=

7、1.38570.9600-0.25890.0011式中：w11是小车位置的权重；w33是摆杆偏0.96001.1650-0.3598-0.0064离垂直方向的角度的权重。-0.2589-0.35980.37930.0335当R=1，w11=1，w33=1时，仿真得到四个0.0011-0.00640.03350.0112极点r0及阶跃响应曲线如图2所示。r1=-2.8032+4.0069ir0=0-2.8032-4.006