函数复习讲义

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1、专题一函数复习一、函数1、（1）映射的概念：设、是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对中每个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作其中称为元素(在映射下)的像，并记作，即。元素称为元素(在映射下)的一个原像，集合称为映射的定义域，记为，即，中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或，即。（1）映射的理解①映射三要素：集合,集合,对应法则，即定义域，值域，对应法则。②对于每个，元素的像是唯一的；而对每个，元素的原像不一定是唯一的；映射的值域是的一个子集，即不一定。（3）设是从

2、集合到集合的映射，若中任一元素都是中某元素的像，则称为到上的映射或满射；2、函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(4)同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因

3、此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。5、反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在

4、反函数。（2）反函数的性质：①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。②函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，注意函数的图象与的图象相同。③互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。④设的定义域为A，值域为B，则有，，但。二、函数的单调性1、函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间。如果用导数的语言来

5、，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法,在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单调性的说

6、明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。4、函数的最大（小）值设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。二、

7、函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断（2）利用定义的等价形式,，（）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称3．函数奇偶性的性质：（

8、1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数，，。（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设，的定义域分别