有限元插值函数总结

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1、第3部分数值离散中的插值方法内容•基于单元（（传统（传统））的插值方法）的插值方法•基于单元的新型插值方法•四边形面积坐标•B网方法•基于离散点的插值方法–移动最小二乘MLS–PIM–多节点Lagrange插值–……第4章基于单元(传统)的插值方法•概述•Hermite单元簇•Lagrange单元簇•Serendipity单元簇•三角形单元簇•三维单元的插值函数4.1概述•本章主要讨论C型单0元，不考虑C型单元1（梁除外）；•对等参元（等参数单1元）而言，插值函数xy完全一次等同于形函数x2xyy2完全二次•完全多项式：Pascalx3x2yxy2

2、y3完全三次三角形x4x3yx2y2xy3y4•插值函数的一般要求（对协调元而言）–Ni(xj,yj,zj)=δij–保证连续性，即协调性–完备性，对C0单元，要求包含任意线性项–∑Ni=1→保证刚体平动(但不保证能描述常应变状态)4.2Hermite单元簇（可以要求导数连续）1.一维Hermite单元簇22(0)(1)df场函数：fx()=∑H()xf+∑H()(x)iiiiξi=1i=1dx412or()=NQfx∑iiξ=0ξ＝1i=1dfdfQ=fQ=fQ=()Q=()11223142dxdx(0)(0)dHi()xH()x=d=0ijij

3、dxxj(1)(1)dHi()xH()x=0=dijijdxxjH1(0)H1(1)H2(0)H2(1)ξξξξ01010101(0)(1)(0)(1)H、H、H、H各有四个方程，可以确定为三次多项式1122(0)23N=H(x)13=-x+2x11(1)23N=H()x=-x2x+x(N+N+N+N¹1)211234(0)23N=H()x=3x-2x但N+N=13213(1)23N=H()x=-x+x42若坐标系放在中心!H1(0)H1(1)H2(0)H2(1)ξ12ξ=－1ξ＝+1ξξξξ-11-11-11-11则：(0)13(1)132H()

4、x=(x-3x+2)H()x=(x-x-+x1)1144(0)13(1)132H()x=(-x+3x+2)H()x=(x+x--x1)2244一维Hermite多项式上述多项式在两端保持一阶导数连续，此Hermite多项式成为一阶Hermite多项式。同理可构造n阶Hermite多项式，n阶Hermite多项式为ξ的2n+1次多项式。例如2阶Hermite多项式可表示为：2222(0)(1)df(2)dffx()=∑H()xf+∑H()(x)+∑H()(x)iiiii2ii=1i=1dxi=1dx(0)2(0)(0)(0)dH1dH1其中H()1x

5、=H()x，，=011122dxdxxx1,2xx1,22(2)(2)2(2)dH1(2)(2)dH1dH1=1H()x=H()x===0211122dxdxdxx1xx1,2x2厖2.二维Hermite多项式可以通过一维Hermite多项式构造二维Hermite多项式（一个节点4个自由度）：2¶f¶f¶f34Q=fQ=Q=Q=11234η¶x¶h¶¶xh1112¶fQ=f……Q=52812¶¶xhξ2………Q=…16若坐标原点取在对应的插值函数：中心，则H(0)等1(0)(0)(1)(0)的形式要做

6、相应N1=H1()xH1()hN2=H1()xH1()h调整(0)(1)(1)(1)N=H()xH()hN=H()xH()h311411(0)(0)(1)(1)N=H()xH()h…N=H()xH()h521821……4.3Lagrange单元簇1.一维Lagrange多项式ξξ0ξ1ξ2ξn第点k对应的插值函数：n(xx-0)(xx-1)⋯(xx-k-1)(xx-k+1)⋯(xx-n)N=l()x=kk(x-x)(x-x)⋯(x-x)(x-x)⋯(x-x)k0k1kk-1kk+1knk=0,1,⋯,nn+1个节点，次n多项式nn显然满足dij的性

7、质，∑lk()1x=why?k=0nnf=∑l()xfkkk=02.二维Lagrange多项式对所有的点沿着两个方向编号，设第i个点对应的编号为(I,J)，其对应的插值函数为：nmNºN=l()()xlhiIJIJ1(0,m)(n,m)(I,J)1η(0,0)(n,0)ξ几种常用的Lagrange单元：线性二次三次1三次完全xy多项式若m=n，其对应很多寄生的Pascal三角形x2xyy2项为菱形：x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4x5x4yx3y2x2y3xy4y5x3y33.三维Lagrange多项式(0,n,p)(m,n,p)ζ

8、η(0,0,0)(n,0,0)ξ沿着三个方向分成nmp´´等分，并对节点进行编号设第个节点的编号为i(,,)IJK，则其对