鸽巢原理的运用及其转化问题

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1、鸽巢原理的运用及其转化濮阳县鲁河镇杜堌中心小学李国柱鸽巢原理是数学中的一个重要原理，它最早由德国数学家狄利克雷提出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称“狄利克雷”原理。该原理有两个经典案例，一个是把十个苹果放进九个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了两个苹果，所以这个原理又称为“抽屉原理”；另一个是六只鸽子飞进五个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进两只鸽子，所以也叫“鸽巢原理”。涉及鸽巢原理的问题主要有三类：1、am只鸽子飞进m个鸽巢，总有一个鸽巢至少要飞进a+1只鸽子。或者n只鸽子飞进m个鸽巢，总有一个鸽巢至少要飞进n/m(进一法保留整数，即有余数进一)只鸽子。2、m个鸽巢，每个鸽巢最多可飞

2、进a只鸽子，至少需要am+1只鸽子，可以保证每个鸽巢里都飞进了鸽子。3、m个鸽巢，一定有一个鸽巢至少飞进b只鸽子，需要mb–m+1只鸽子。典型例题：1、11只鸽子飞进4个鸽巢，总有一只鸽巢至少飞进3只鸽子，为什么？因为11/4=2.75，根据进一法，2.75保留整数，则为3。2、4个鸽巢，每个鸽巢最多可飞进5只鸽子，则至少需要多少只鸽子，可以保证每个鸽巢里都飞进了鸽子。因为4X5+1=21，所以至少需要21只鸽子，方可保证每个鸽巢里都飞进了鸽子。3、4个鸽巢，至少需要多少只鸽子，一定有一个鸽巢不少于3只鸽子。方法一：4x3–(4–1)=9(只)。方法二：4x(3–1)+1=9(只)。

3、鸽巢原理是以鸽子和鸽巢为例来说明一个数学问题，但在实际运用中，我们遇到的往往并非只是鸽子和鸽巢的问题，但却完全可以运用鸽巢原理来解决。这就存在一个鸽巢原理的转化问题，关键是我们必须搞清楚在此类问题中谁相当于鸽巢、谁相当于鸽子。问题示例：把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？分析：颜色相当于鸽巢，球相当于鸽子，符合鸽巢原理第三类问题。解决方案一：4x(2–1)+1=5。解决方案二：4x2–(4–1)=5。上述示例，只是一个比较简单的鸽巢原理的转化问题，鸽子和鸽巢的相关项很直接，但还有很多情况，鸽子和鸽巢的相关项不是那么明确、那

4、么直接。我们该怎么办？这就需要我们练就孙悟空的火眼金睛，洞穿问题的本质，找到鸽巢和鸽子的相关项，然后在运用鸽巢原理解决问题。例如：养老院买了一些苹果、梨和橘子，每位老人任意选两个水果，至少应有几位老人才能保证必有2位或2位以上的老人所选水果相同？分析：这也是一个关于鸽巢原理的问题。鸽子和鸽巢的相关项分别是什么？无疑老人相当于鸽子，鸽巢呢？是水果的品种吗？不！问题是“至少应有几位老人才能保证必有2位或2位以上的老人所选水果相同？”关键在于“所选水果相同”，我们应该再“选”字上做文章，水果的选法有多少种呢？选两个任选一种水果有三种选择方法，任选两种水果有三种选择方法，一共有六种选择方法。

5、所以“水果的选择方法”就相当于鸽巢！解决方案一：6x(2–1)+1=7。解决方案二：6x2–(6–1)=7。综上在鸽巢原理的转化问题中，寻找鸽巢和鸽子的相关项，应该从问题中查找，鸽子的问题解决了，与鸽子的相关项关系最直接的项目就是鸽巢的相关项。