鸽巢原理及其应用.ppt

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1、鸽巢原理及其应用陈淑贞2011.11.22主要内容1.引言2.鸽巢原理3.鸽巢的构造及其应用4.鸽巢原理在国内外数学竞赛中的应用5.鸽巢原理的推广——Ramsey定理(介绍）1.引言鸽巢原理为组合学中的一个重要原理。鸽巢原理最早是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题而提出来的，所以又称为“迪里赫莱原理”，也有称“抽屉原理”的。应用它可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。它常被用来证明一些存在性的数学问题，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用。对于一些比较特

2、殊的问题，若用一般的数学方法去研究，很复杂或根本解决不了，但用鸽巢原理往往能起到事半功倍的效果，所以鸽巢原理也是国际国内数学竞赛中的重要内容，在数学竞赛中具有很大的应用意义。2.鸽巢原理2.1鸽巢原理的简单形式若有n+1只鸽子飞到n个鸽巢里面，则至少有一个鸽巢里至少有两只鸽子。2.2鸽巢原理的加强形式注:n+1为结论成立的最小数。将q1＋q2＋…＋qn－n＋1个物品放入n个抽屉中，则至少存在某个抽屉i（1≤i≤n）,使得这个抽屉里至少有qi个物品。注:q1＋q2＋…＋qn－n＋1为结论成立的最小数,记为N(

3、q1,q2,…,qn;1)。显然,当q1=q2=…=qn=2时,加强形式即为简单形式。即N(q1,q2,…,qn;1)=q1+q2+…+qn-n+1.推论1n·(r-1)＋1只鸽子飞入n个巢里，则至少有一个鸽巢里至少有r只鸽子。当qi=r时，得：推论3：设m1,m2,…mn均为正整数,且满足,则m1,m2,…,mn中至少有一个数不小于r。推论2：m只鸽子飞入n个巢里，则至少有一个鸽巢里至少有只鸽子,其中是不小于的最小整数。3鸽巢的构造及其应用虽然鸽巢原理十分简单明了，但不是所有的问题都一眼就可以看出什么是鸽

4、子，什么是鸽巢。在应用它的时候却涉及很多技巧，这是利用鸽巢原理解题的魅力所在。常用的构造鸽巢的方法有：利用整数分组、余数分类，划分集合，分割区间、分割图形，利用染色等。下面给出几类常用的构造鸽巢的方法。3.1利用整数分组构造“鸽巢”例1试证明从{1，2，…，kn}中选n+1个数，总存在2个数，它们之间最多相差k-1。证明：把{1，2，…，kn}分为n部分{1，2，3，…,k},{k+1,k+2,…,2k},…,{(n-1)k+1,(n-1)k+2,…,kn},即做n个鸽巢，从中任选n+1个数，由鸽巢原理，必

5、有2个数选在同一个鸽巢中，所以它们的差最大为k-1。路易·波萨是匈牙利数学家,在他11岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他出了个问题:“如果你手头上有n+1个整数，这些整数是小于或等于2n的，那么你一定会有一对数是互素的。你知道这是什么原因吗？”波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。例2在一条笔直的马路上种树，从起点起，每隔1米种一棵数。如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌的树它们之间的距离是偶数（以米为单位）。解从起点开始给每课树编号，树上的号码依次为1,2,3,…,n

6、,把这些号码分为奇数和偶数两类，当作两个鸽巢，把三块牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，这三棵挂牌的树至少有两棵树的号码同为奇数或偶数，而这两棵树的差必为偶数，所以至少有两棵挂牌的树它们之间的距离是偶数（以米为单位）。3.2利用划分图形构造“鸽巢”例1边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过.解：将边长为1的正方形等分成边长为1/2的四个小正方形，视这四个正方形为鸽巢，9个点任意放入这四个正方形中，由鸽巢原理必有三点落入同一个正方形内.现特别取出这个

7、正方形来加以讨论.图1把落在这个正方形中的三点记为D、E、F.如图1，通过这三点中的任意一点（如E）作正方形边平行线S△DEF＝S△DEG＋S△EFG所以，结论成立。如果8个点无一个在圆心上，可将圆分成7个相等的扇形，由鸽巢原理，这8个点至少有两个在同一个扇形内，则这两点之间的距离小于半径。例2在圆内（包刮圆周）有8个点，则其中必有两个点，它们之间的距离小于圆的半径。证明分两种情况考虑。A1A2A3A4A6A5o2.如果8个点有一个点在圆心，可将圆分成6个相等的扇形，如图，取扇形OA1A2不包含OA2,扇形

8、OA2A3不包含OA3,…,扇形OA6A1不包含OA1,由鸽巢原理，余下的7个点至少有两个在在同一个扇形内，则这两点之间的距离小于半径。由于圆上相邻两点Ai,Aj间的弦长恰好为圆的半径，所以在边长为1的正方形内任取5个点,则其中至少有两点,它们之间的距离不超过2.证明:(1)在一边长为1的三角形中任取10个点,则其中至少有两点,它们之间的距离不超过1/3.(2)确定mn，使得在一边长为1的三角形中任取mn个点,则