学而思奥数2011年五年级春季班第四讲因数与倍数(二)

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1、五年级春季班第四讲因数与倍数（二）曹威第四讲因数与倍数（二）因数与倍数现在对我们来说已经很熟悉了，因为现在学校课堂上已经讲解了很多，再加上去年秋季班我们也学习了因数与倍数（一）。那么今天，我们要在现有的基础上，再次提高一个程度，了解并掌握一些新的因数倍数题型及其解决办法。、因数个数定理的反应用重点例、本讲知识重难点、短除模型的应用重点例、、因倍的综合运用难点例、一、基本知识复习1、最大公因数与最小公倍数的求法（1）短除法：272126求72和126的最大公因数？33663则72与126的最大公因数为短

2、除式中左边的数相乘；=31221最小公倍数为边上与底下的数都乘。47（2）分解质因数法：72=；则：=2（3）辗转相除法：此方法主要用于求两个较大数的最大公因数。2429如：求2429和1735的最大公因数？694我们假设2429和1735分别是长方形的两个边长，若此长方形的长和宽都可以1735694分解出若干个边长一样且最大的小正方形，则此正方形的边长即为长2429和宽1735的最大公因数，由图可知：‥‥347‥‥也就是说2429和1735都可以分解成边长最大为347的正方形。即最后，我们在回顾一下

3、求347的过程，始终都是用除数除以余数，除数除以余数，直到余数为0时的那个除数即为最大公因数，若除到最后余数为0时的除数为1，则说明两数互质，即最大公因数为1。2、因数个数定理：先将此数分解质因数，再把每个质因数的指数（次数）加1相乘。如：360有多少个因数？360=；则因数个数为（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个3、短除模型：由图可知当a与b互质时，（A,B）=d;[A,B]=d×a×b,dAB则可得到：（1）A=d×a;B=d×b；A×B=（A,B）×[A,B]ab（2）A+B,(A,B)

4、,[A,B]三个量知道任意两个都可以推出其他的量。方法见例题讲解。二、例题讲解、因数个数定理的反应用例1、分析：首先我们先想这么一个问题：100以内的数A如果只有6个因数，那么这个6是怎么来呢？根据因数个数的求法，应该是这个数A分解质因数后，每个质因数的指数（次数）加1相乘后的结果，所以我们应该先把6分解成相乘的形式在还原出A分解质因数的形式。最后根据分解质因数的形式找到满足要求的数。解答：6=1×6=2×3（次数加1后是这样的，则让这些因数减1就是质因数的次数）A分解质因数的形式：或（a和b必须是互

5、不相同质数）对于=这种形式下，100以内的只有这一个。对于这种形式下，通过枚举可得到；；；；；；；；8个；；；；4个；；2个；1个总个数=8+4+2+1+1=16个第四讲因数与倍数（二）4.1五年级春季班第四讲因数与倍数（二）曹威巩固练习：1～100以内，恰好有8个约数的数有多少个？提示：8=18=2×4=2×2×2，所以分解质因数的形式有3种。；；答案：6个例2、分析：先根据“39个约数”求出这个数的平方（）的分解质因数形式，然后可以找到这个数A分解质因数的形式，最后应用约数个数定理求出这个数A的约

6、数个数。解答：39=1×39=3×13则这个数的平方分解质因数的形式为：或则A的分解质因数形式为：或（原来的每个次数都除以2）则A的约数个数有（1）19+1=20个（2）（1+1）×（6+1）=14个巩固练习：（1）一个数有6个约数，那么这个数的立方有多少个约数？提示：根据6个约数先确定这个数A的分解质因数的形式，那么这个数的立方的分解质因数形式中需要让原来的每个次数都乘以3即可，则新数的约数个数可根据约数个数定理求出。答案：16或28（2）求所有能被30整除，切恰有30个不同约数的自然数。提示：如果

7、能被30整除，30=2×3×5则这个数A的质因数必同时有2,3,5且每个至少一个，将其分解质因数应为A=.但A又只有30个约数，则次数加1相乘后得30，而30分解成不同的质数最多3个即30=2×3×5，那么也就是说A中的次数（a+1）×（b+1）×（c+1）=2×3×5.则a,b,c分别为1,2,4.最后将1,2,4分配到A的质因数的次数上有6种情况。；；；；；（搭配方法相当于将1,2,4全排列）答案：6个。（3）1001的倍数中，有多少个数恰好有1001个约数？提示：与练习2相同答案：6个（4）21

8、0的倍数中，有多少个数恰好有210个约数？提示：与练习2,3相似，此题是能分解成2,3,5,7四个数，所以会将次数分配到这4个质因数的次数上，共有24中搭配方法。答案：24个。（5）一个两位数有6个因数，且这个数最小的3个因数之和为10，那么此数是几？提示：这3个最小的因数中肯定有1，则另两个和必为9，可知第二小的为2，第3小的只能是7，说明这个数肯定是14的倍数，但因数中没有3,4,5,6.那么14的倍数中只能有14和98这两个两位数，而14只有4个因