固体物理1-7讲习题参考答案

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1、第三讲3.1．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。证：体心立方基矢取为GaGGGa1=(i+j−k)2GaGGGa2=(−i+j+k)G2GGGaa3=(i−j+k)2其中a为晶格常数其倒格子基矢，按定义GGGijkG2πGG2πa22πGGbGGb1=(a2×a3)=⋅−111=(i+j)=(i+j)Ω134a2a1−112G2πGGbKGb2=(a3×a1)=(j+k)Ω2G2πGGbGGb3=(a1×a2)=(i+k)Ω24π可见，体心立方的倒格子是晶格常数为b=的面心立方。a4π同

2、理可证，面心立方的倒格子是晶格常数为的体心立方。a33.2．证明：倒格子原胞的体积为(2π)/Ω，其中Ω为正格子原胞的体积GGG证：正格子原胞体积Ω=a1⋅(a2×a3)GGGGG2πGG*倒格子原胞体积Ω=bb⋅()×b=b⋅[b×(a×a)]1231212ΩGGGGGGGGK利用矢量公式A×(B×C)=(A⋅C)⋅B−(A⋅B)⋅CGG并利用性质ai⋅aj=2πδij，可得3*GG2π8πΩ=b1⋅a1⋅⋅2π=ΩΩ3.3．倒格子矢量为Kh=h1b1+h2b2+h3b3，证明布里渊区边界方程为：GG1G22k⋅Kh−Kh=02G证：

3、布里渊区边界垂直且平分倒格矢Kh，故该边界面上任一矢量满足G1GG(k−Kh)⋅Kh=02GG1G2即边界方程为2k⋅Kh−Kh=023.4．画图作出二维正方格子和二维简单六方晶格的前三个布里渊区。解：正方格子的倒格子仍是正方格子，六角格子的倒格子仍是六角格子。首先根据正格子原胞基矢计算倒格子原胞基矢（略），根据倒格子原胞基矢画出倒格子点阵，然后画出前三个布里渊区。正方格子的布里渊区六角格子的布里渊区3.5写出体心立方第一布里渊区图上点Γ,H,N,P,∆,Σ,Λ,F的倒格子空间坐标。布里渊区中心用Γ表示，Δ表示<100>轴，Λ表示<11

4、1>轴，Σ表示<110>轴。Γ(000)11H(00)∆(00)241111N(0)Σ(0)4488111111P()Λ()444888131F()888第四讲4.1．倒格子矢量为Kh=h1b1+h2b2+h3b3，证明布里渊区边界方程为：GG1G22k⋅Kh−Kh=02证明此方程就是波在晶体中(h1h2h3)晶面族上发生全反射的布喇格方程。G证：布里渊区边界垂直且平分倒格矢Kh，故该边界面上任一矢量满足G1GG(k−Kh)⋅Kh=02GG1G2即边界方程为2k⋅Kh−Kh=02GGGG取Kh方向最短的倒格矢为K0，Kh=nK02π将面

5、间距公式d=G代入边界方程，有K02π2π⋅n2⋅cosϕ−=0λdGGπ其中，ϕ为k与Kh的夹角。取其余角，θ=−ϕ，上式化为22dsinθ=nλ即Bragg公式。+-4.2．讨论KCl晶体的几何结构因子及消光条件。提示,K和Cl有相同的电子壳层结构和相同的原子形状因子。＋－解：K，Cl电子壳层结构相同，具有相同的原子形状因子，f+=ff−=KCl＋－单胞中4个K，4个Cl，各自排为面心结构，设其坐标分别为111111K：(0,0,0)(,,0)(,0,)(0,,)2222221Cl：(,0,0)＋[K]coord.28GG−⋅iKh

6、jr−−iHππi()H+K−iπ(H+L)−iπ(K+L)几何结构因子FfHKL==∑jef(1+e)[1+e+e+e]j=12消光时，IF==0。条件：HKLHKL（i）H为奇数或（ii）HK++,,HLK+L中有两奇一偶，即衍射面指数中HK,,L不能为全奇或全偶。因此，只需HK,,L中存在一个奇数，即会消光。注：由于f+=f−，故对X射线衍射而言也可将晶体视为简单立方结构KCl但此时晶格常数减小一倍，相应倒格子基矢扩大一倍。因此，简单立方中()HK′′L′所表示的晶面，如(111)，在原系统中为()HKL=(2H′2K′2L′)，

7、即(222)。尽管对简单立方而言，不存在消光，HK′′L′可任取正整数值，但HK,,L却只能取偶数，这于前面的结果一致。4.3．证明对立方晶系进行X射线粉末衍射照相时，如果衍射面指数为(HKL)，出现的衍222射线G=H+K+L的值如下：简单立方：1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,…体心立方：2,4,6,8,10,12,…面心立方：3,4,8,11,12,…金刚石：3,8,11,…解：（1）简单立方不存在消光，HK,,L可任取非负整数（但不同时为0）(003)（HKL）(001)(011)(111)(002)(012)(

8、112)(222)(013)(113)(122)222G=H+K+L123456891011（2）体心立方−+iHπ()K+L几何结构因子Ff=+[1e]HKL衍射条件H+K+L=偶数，由于此限制，在简单立