固体物理10-12-习题参考答案

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1、第10讲3.8有N个相同原子组成面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T2。讨论有N个相同原子组成长度为L的一维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T。解：德拜模型的色散关系为cq考虑q空间中半径为q，厚度为dq的圆环面积为2qdq中量子态数，波矢的数值在Sqqdq之间的量子态的数目2qdq考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一2(2)2S支横波，所以频率在d之间，总的格波数为：d总的振动能为22D1E(T)g()d02e/kBT

2、1考虑与温度相关的晶格振动能D1Dg()dg()d020e/kBT1量，设xkTBDDSE(T)g()dd0e/kBT10e/kBT12233SDkBT/kBT202/kBTd/kBTe133D2SkTxDBTdx由总振动模式数等于自由度数：()nN，得德220ex10D1/2S4N拜频率：d2N2D0SSk3T3Dx2T3Dx2E(T)BTdx4NTdx

3、德拜模型中的晶格热容：220ex120ex1D3D2E(T)dTxC4NTdx证明低温晶格比热T2定律VTdT20ex1VD3xE(T)2dx常数CAT0ex1VTV一维情况:LL波矢的数值在qqdq之间的量子态的数目2dqd2cL有g()cDNc由于g()dN所以D0LD1E(T)g()d02e/kBT1D1Dg()dg()d020e/kBT1设xk

4、TB22LL(kT)D/TxDBE(T)dx4cc0ex122NcL(kT)D/TxBdx4Lc0ex12D2E(T)dLkTxBTCdxVxTdTc0e1VxE(T)dx常数CBT0ex1VTV3.10设晶体中每个振子的零点振动能ω，试用德拜模型求晶体的零点振动能。讨论一维、二D129维和三维的情况。()dN，N，N解：DDD24380应用色散关系，考虑一维只有一个纵波，二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个

5、纵波，模式密度分别为有：2L12S3V，，22322DDD2L1S3VdN，d2N，d3N22320001/21/32N4N6N，，DDDLSV10.1讨论在德拜近似下有N个相同原子组成长度为L的一维晶格振动的模式密度和德拜温度，有N个相同原子组成面积为S的二维晶格振动的模式密度和德拜温度，有N个相同原子组成体积为V的三维晶格振动的模式密度和德拜温度。解答：LSV模式密度：色散关系为ω=υq，设波速为常数υ，q空间的量子态数密度为

6、，，从23248LSV2q到q+dq范围内的量子态数为：2dq，2dq，4qdq应用色散关系，23248考虑一维只有一个纵波，二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波，模式密度分别为有：2L12S3VD，，()nN222230DDD2L1S3VdN，d2N，d3N22320001/21/32N4N6N，，DDDLSVDDkB1/21/32Nv4N6N一维：二维：

7、v三维：vDDDLkBkBSkBV10.2模式密度奇点。(1)根据一维单原子链的色散关系证明模式密度为2N1()其中ωm是最大频率。(2)假定在三维情况下，在k=0附近，一221/2()m2个光学波具有(k)Ak。033/21/2证明：对于，()L/2(2/A)()；对于,()0，000此处模式密度不连续。第11讲q3.9写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限，自由能为FU0kBTln。qkBT1jj/kBTFUkBT[l

8、n(1e)]j2kBT经典极限有kT，Bj1jj/kBTj0，e1将两式代入F的表达式，得2kTkTBBjFU