固体物理8-9讲习题参考答案

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1、习题8.1单原子线型晶格：考虑一个纵波，在原子质量为M、晶格常数为a和最近邻力常数为C的单原子线型晶格中传播。(a)试证该波的总能量为211dus2EM=+∑∑C()uss−u+122ssdt其中求和指标s遍历所有的原子。(b)将us代入这个表达式，证明每个原子的时间平均总能量为1122122MωωuC+−(1coska)=Mu422其中最后一步采用了一维布拉伐晶格的色散关系式。解：（a）第s个原子的位移为uu=cos(ωt−ska)（1）s221dus1dus动能为M，晶体的总动能为TM=∑。2dt2sdt晶体的总势能为Φ=∑

2、φ(Rss')，其中Rss'为s，s’原子间的距离，Rsss''=rus+−sus'，ss'r为s，s’原子间的平衡距离。将φ展开，只取简谐近似，得：ss'1''2φφ()R=+(r)φ(u−u)，ss''ssss'ss'22''∂φ()Rss'其中φ=为力常数。若只考虑最近邻原子的作用，则总位能为ss'∂R2Rsss''=rsss'8.2连续介质弹性波的波动方程：证明对于长波长，一维布拉伐格子晶体的运动方程2dusM2=−∑Cups()+pusdtp22∂uu2∂约化为连续介质弹性波的波动方程：=υ，其中υ为声速。22∂tx∂（见讲义）8.3孔氏异常

3、(Kohnanomaly)在立方晶体中，沿[100]、[110]、[111]方向传播的格波，整个原子平面作同位相的运动，其位移方向平行或垂直于波矢方向。可用一单一坐标us来描述平面s离开平衡位置的位移。假定由于平面s+p的位移在平面s上引起的力正比于它们的位移之差，则作用在平面s上总力为Fs=∑Cups(+p−us)假定力常数Cp取如下形式psinpka0CA=其中A和k0是常数，a为原子平面间距，p遍取所有的整数值。这种形ppa式是对于金属的预期结果，(1)求平面s的运动方程；(2)运动方程具有具有格波解is(ka−ωt)2uu=e，求色散关系和∂ω/∂k的表达

4、式；s2(3)证明k=k0时，∂ω/∂k是无穷大。于是在k0处ω2对k或ω对k的图形有一条垂直的切线：即在k0处色散关系ω(k)有一扭折。W.Kohn,Phys.Rev.Lett.2(1959)393曾预言了与此有关的一个效应。解：平面s的运动方程为is()ka−ωt（2）若运动方程具有具有格波解uu=es代入上式得2(iska−+wt)i((sp)ka−ωωt)i(ska−t)i((s−p)ka−ωt)Mi()−=ωue∑CP{ue−2ue+ue}解得色散关系为：p>022ω=−∑CpP(1coska)Mp>0若面间力常数取sinpka0CA=ppa（3）习题3

5、.3双原子链。考虑一个线型链的简正模式，链上最近邻原子间的力常数交错地等于C和10C。令两种原子的质量m相等，最近邻原子间距为a/2，试求在k=0和k=π/a处的色散关系ω(k)。粗略地画出色散关系。本题模拟双原子分子的晶体，例如H2。解：此题用原胞法，如下：2ω与K的色散关系图这是一个双原子（例如H2）晶体的例子。分子内原子间的力常数要比分子间的力常数大的多，反映分子整体振动的声学波频率决定于分子间比较弱的相互作用，频率较低。而反映分子内的原子的相对振动的光学波，决定于分子内原子比较强的相互作用，其振动频率要比声学波高的多。9.1双原子链。考虑一双原子链的晶格振

6、动，链上最近邻原子间的力常数交错地等于G和K(>G)，最近邻原子间距交错地等于a－d和d（

7、−iqdiqa2−+e()KGeA+[(K+G)−mω]B=0112222ω()kK=+[(G)±(G+K+2GKcosqa)]±m222当时kK==0，ωω(0)0，(0)=(+G)−+mππ2222GKπ当时k==，ωω()，()=−+aamam色散关系图（略）。3.5已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为2αqβUr()=−+其中马德隆常数α＝1.75,n=9,平衡离子间距r0=2.82An4πεrr0（1）试求光学支的最大频率（2）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红外吸收频率的测量值61µm进行比较。21n−du()rαqr0解：平衡时，=

8、0，得到β