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1、固体物理第一次习题参考答案1．如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方体心立方面心立方六角密排金刚石解：设钢球半径为r，立方晶系晶格常数为a，六角密排晶格常数为a,c钢球体积为V1，总体积为V2（1）简单立方单胞含一个原子，（2）体心立方取惯用单胞，含两个原子，（3）面心立方取惯用单胞，含4个原子，（4）六角密排与面心立方同为密堆积结构，可预期二者具有相同的空间占有率取图示单胞，含两个原子，单胞高度（见第2题）（5）金刚石取惯用单胞，含8个原子，2．试证六方
2、密排密堆积结构中解：六角密排，如图示，4个原子构成正四面体3．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。证：体心立方基矢取为其中a为晶格常数其倒格子基矢，按定义可见，体心立方的倒格子是晶格常数为的面心立方。同理可证，面心立方的倒格子是晶格常数为的体心立方。4．证明：倒格子原胞的体积为(2p)3/Ω，其中Ω为正格子原胞的体积证：正格子原胞体积倒格子原胞体积利用矢量公式并利用性质，可得5．写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a，写出最近邻和次
3、近邻的原子间距。最近邻原子数最近邻原子间距次近邻原子数次近邻原子间距体心立方86a面心立方126a6．写出体心立方和面心立方晶格结构的金属在(100),(110),(111)面上的原子排列。(100)面(110)面(111)面体心立方简单正方有心长方简单六角面心立方简单正方简单长方简单六角7．倒格子矢量为Kh=h1b1+h2b2+h3b3，证明布里渊区边界方程为：证明此方程就是波在晶体中(h1h2h3)晶面族上发生全反射的布喇格方程。证：布里渊区边界垂直且平分倒格矢，故该边界面上任一矢量满足即边界方程
4、为取方向最短的倒格矢为，将面间距公式代入边界方程，有其中，为与的夹角。取其余角，，上式化为即Bragg公式。8．画图作出二维正方格子和二维简单六方晶格的前三个布里渊区。解：正方格子的倒格子仍是正方格子，六角格子的倒格子仍是六角格子。正方格子的布里渊区六角格子的布里渊区9．讨论KCl晶体的几何结构因子及消光条件。提示,K+和Cl-有相同的电子壳层结构和相同的原子形状因子。解：K＋，Cl－电子壳层结构相同，具有相同的原子形状因子，单胞中4个K＋，4个Cl－，各自排为面心结构，设其坐标分别为K：Cl：＋[K
5、]coord.几何结构因子消光时，。条件：（i）H为奇数或（ii）中有两奇一偶，即衍射面指数中不能为全奇或全偶。因此，只需中存在一个奇数，即会消光。注：由于，故对X射线衍射而言也可将晶体视为简单立方结构但此时晶格常数减小一倍，相应倒格子基矢扩大一倍。因此，简单立方中所表示的晶面，如(111)，在原系统中为，即(222)。尽管对简单立方而言，不存在消光，可任取正整数值，但却只能取偶数，这于前面的结果一致。10．证明对立方晶系进行X射线粉末衍射照相时，如果衍射面指数为(HKL)，出现的衍射线G=H2+K2
6、+L2的值如下：简单立方：1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,…体心立方：2,4,6,8,10,12,…面心立方：3,4,8,11,12,…金刚石：3,8,11,…解：（1）简单立方不存在消光，可任取非负整数（但不同时为0）（HKL）(001)(011)(111)(002)(012)(112)(222)(003)(122)(013)(113)G=H2+K2+L2123456891011（2）体心立方几何结构因子衍射条件H+K+L=偶数，由于此限制，在简单立方的列表中去除了G=1,3,5,
7、9（3）面心立方几何结构因子根据上一道题的讨论，衍射条件要求H,K,L奇偶性相同故列表中只取（4）金刚石几何结构因子即除H,K,L奇偶性相同外，还须要求(H+K+L)/2不能为奇数，由此i）H,K,L全为奇数或ii）H,K,L全为偶数，且三者之和是4的整数倍固体物理第二次习题参考答案1．证明六角晶体的介电常数张量为证1：六角晶体，设介电常数为，取坐标架如图示选电场方向在x轴方向，有绕x轴旋转晶体180o，电场不变因为绕x轴转180度为对称操作，应有同理，选电场方向在y轴、z轴，绕轴转180度为晶体的对
8、称操作，可推出非对角项为0yzE另，可选电场在图示方向，60o代入，有绕电场方向为轴转180度，电场不变该操作也为六角晶体的对称操作，根据，必有因此，介电常数张量可写为证2：设转动操作的变换矩阵为T，在该操作下二阶张量的变换为若该操作为对称操作，应满足取对称操作为绕x轴转180度，代入上式，有再取对称操作为绕y轴转180度，代入上式，有最后，取绕z轴转120度，，可得2．讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl晶格常数及结合能得影响。（排斥势看作不变）解：N
