含有参数的不等式问题

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1、2008年第4期5含有参数的不等式问题杨岚清(上海市大同中学,200011)2

(本讲适合高中)有ax-

2、x+1

3、+2a∃0%,再将参数a分离在一定条件下,给出一个含有参数的不出来,转化成函数问题.等式,求使该不等式恒成立的参数的取值或由题意,对任意x#R,都有2取值范围以及求参数的最值等,是数学竞赛ax-

4、x+1

5、+2a∃0,中的常见问题.解答此类问题不仅需要对参

6、x+1

7、即
a∃f(x)=2.数有较强的把握能力,还要熟练掌握证明不x+2等式的常用方法.本文介绍几种处理此类问故a∃f(x)max.题的主要方法.令t=x+1,则

8、t

9、

10、1
分离参数,转化成函数问题f(x)=g(t)=2.t-2t+3(1)当t=0时,g(0)=0;例1
若关于x的不等式23+1ax-

11、x+1

12、+2a<0(2)当t>0时,g(t)max=g(3)=;4的解集为
,求实数a的取值范围.3-1讲解:先将条件转换成∀对任意x#R,都(3)当t<0时,g(t)max=g(-3)=.43+1

收稿日期:2007-08-07
修回日期:2007-11-02于是,f(x)max=g(t)max=.4

5.将1,2,9各用一次组成两个数,使8.将0,1,,9表示为汉字,满足下面的其中一个数是

13、另一个数的9倍.求出所有满诗句运算式:足条件的解.床前明=月光,疑是地=上霜,(答案:57429=63819,57186=6354其中,每个汉字代表一个数码,不同的汉字代9,75249=83619.)表不同的数码.请找出相应的数字运算式.6.将1,2,9各用一次组成两个数,使(提示:以0为突破口.0只能是右边的其中一个数是另一个数的8倍.求出所有满个位数.分类穷举可得154=60,293=足条件的解.87;154=60,392=78.)(答案:46个.)9.将0,1,,9各用一次,组成两个三位7.将0,1,,9各用一次组成算式,

14、使三数、一个四位数,使两数之和等于第三个数.个等式同时成立:(提示:仿例2,可得128=96个解.)!+!=!,!+!=!,!!=!!.10.将0,1,,9各用一次,组成一个两(提示:以0为突破口.0只能在第三式位数、两个四位数,使两数之和等于第三个的右边.分类穷举可得1+7=8,3+6=9,4数.5=20.)(提示:仿例2,可得94=36个解.)6中等数学3+1b、c的三角形.从而,a#,+&.4(2002,女子数学奥林匹克)222说明:求实数a的取值范围,只需求出讲解:先由ab+bc+ca与a+b+c函数f(x)的最大值即可.的

15、不等关系,得出k>5,再构造实例得出k(6.于是,由k#Z+,知只有k=6.最后给出2
利用所给不等式或其系数的特征证明.例2
若关于x的不等式注意到对任意正实数a、b、c,均有222x+(2a+2)x-a+4a-7222∃ab+bc+ca.222<0a+b+cx+(a+4a-5)x-a+4a-7一方面,由的解集是一些区间的并集,且这些区间长度222k(ab+bc+ca)>5(a+b+c)的和不小于4,求实数a的取值范围.∃5(ab+bc+ca),(2001,上海市高中数学竞赛)得
k>5.讲解:注意到不等式左边的分子、分母关又由k#

16、Z+,得k∃6.于x的二次式的系数的关系222另一方面,因为不存在边长为1、1、2的(a+4a-5)-(2a+2)=-a+4a-7.三角形,所以,由题意得设关于x的方程222k(11+12+21)(5(12+12+22),x+(2a+2)x-a+4a-7=0,222x+(a+4a-5)x-a+4a-7=0即
k(6.的两根分别为x1和x2(x15(a+b+c),得x1x2=x3x4=-a+4a-722

17、2=-(a-2)2-3<0,5c-6(a+b)c+(5a+5b-6ab)<0.2由
=64[ab-(a-b)](x1+x2)-(x3+x4)222(64ab(16(a+b),=(a+4a-5)-(2a+2)2=-a+4a-7<0,6(a+b)+
有
c<10所以,x1、x2、x3、x4的大小关系是6(a+b)+4(a+b)x1

18、判断、猜测结论,再进行论证2a-4a+7∃4.例4
给定正整数n(n∃2).求最大的解得a(1及a∃3.实数,使得不等式因此,a#(-&,1]∋[3,+&).2例3
试求出所有的正整数k,使得对任an∃(a1+a2+