数学专题18含有参数的不等式问题

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1、高中数学高考总复习专题十八　　含有参数的不等式问题　　众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。　　（1）解不等式，寻求新不等式的解集；　　（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。　　（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。　　一、立足于“直面求解”　　解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础

2、或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求解不等式切入。　　例1.设关于x的不等式　　（1）解此不等式；　　（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围；　　（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围　　分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m2>0,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为ax>b型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。　　解：　　（1）由题设，原不等式m（x+2）>m2+(x-3)　　(mR，m≠0)　　(m-1)x>m2-2m-3　　　　(1)　　∴当m>1时，由（1）解得　　当m=1时，由（1

3、）得xR;　　当m<1且m≠0时，由（1）解得　　∴当m>1时，原不等式的解集为　　当m=1时，原不等式的解集为R　　当m<1且m≠0时，原不等式的解集为　　（2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1）知应得　　　　16　　∴此时m的取值范围为{5}　　（3）注意到x=3为不等式的解，将x=3代入（1）得：　　3（m-1）>m2-2m-3m2-5m<000以及，m的取值或取值范围由此而

4、产生。　　例2．已知关于x的不等式组　的整数解的集合为{-2},求实数R的取值范围。　　分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x=-2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。　　解：不等式x2-x-2>0(x+1)(x-2)>0　　　　x<-1或x>2　　∴不等式　　x2-x-2>0的解集A=（-∞，-1）∪（2，+∞），显然-2∈A　　不等式2x2+(2R+5)x+5R<0(x+R)(2x+5)<0　　　　①　　设这一不等式的解集为B，则由-2B，得：（-2+R）（-

5、4+5）<0R<2　　　　②　　注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x1=-R，，　　∴　　(1)当时,由①得,　即　　此时-2B　　(2)当时,由①得　　　　　　∵{x

6、xA∩B,xZ}={-2}　　∴　　③　　　　于是由②、③得所求实数的取值范围为[-3，2）　　点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x2+(2R+5)x+5R<0的解集为B，而后首先由-2B获得一个必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入讨论。　　首先由整数元素的从属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对

7、应的范围进行讨论，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。　　二、致力于“化生为熟”16　　化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题”转化为“已经解过的题”。而对所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。　　1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。　　二次不等式是我们所熟知的事物，因此，如果问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。　　例1.若不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求a的取值范围。　　分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化

8、为整式不等式的解集问题。　　解：不等式　　[（a-1）x+1](x-1)<0　　[（1-a）x-1](x-1)>0　　　　①　　解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a>0且1-a≠1　　以下以①式左边多项式的根与1的大小为主线展开讨论：　　（1）当0<1-a<1即01，即a<0时　　　∴由①得或x>1这与题设条件不符　　于是由（1）、（2）所得a的取值范围为{}　　解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知）　　原不等式[（1-a）x-1](x-1)>0　　　　　　又