含参数绝对值不等式恒成立问题的辨析与求解(长沙市南雅中学石向阳)

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1、解题研究JIETIYANJIU摘要：对含参数绝对值不等式a-f（x）＞g（x）在时，已知不等式对x∈［0，1］恒成立，x∈M内恒成立问题，学生往往由于对转化前后不等式故a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）.的逻辑关系认识不清，错误转化为a＞f（x）+g（x）在错解原因分析：错解问题到底出在哪里呢？下面x∈M内恒成立或a＜f（x）-g（x）在x∈M内恒成立，就这个问题的逻辑关系进行简单阐述.且不知道错在哪里．从两个问题探究出发，分析了错“或”命题的恒成立问题：坌x∈M，p（x）∨q（x）圳解的原因在于没有考虑“或”命题恒成立逻辑上的第对任意的x∈M

2、，p（x）和q（x）至少一个成立.三种情况．在分析比较两个问题、探究三种经典解法从逻辑上讲有以下三种情况：的基础上，归纳总结出解决这一类问题的通法．（1）对任意的x∈M，p（x）成立；关键词：恒成立；“或”命题；数形结合；命题的（2）对任意的x∈M，q（x）成立；否定（3）p（x）在x∈M1恒成立，但在x∈M不恒成立，q（x）在x∈M2恒成立，但在x∈M不恒成立，且（M1∪M）2勐M.一、问题探究按此解释，问题1的错解，错在把“坌x∈M，p（x）∨q（x）”圳“坌x∈M，p（x）；或坌x∈M，q（x）”，而把第三x2+x2问题1：已知不等式a->x-x在x∈种情

3、况漏掉了.222正解2（解集法）：原不等式圳a＞x或a＜x在［0，1］上恒成立，求a的取值范围.x∈［0，1］上恒成立圳原不等式的解集勐［0，1］.22x+xx-x错解：原不等式转化为a->或a-22当a<0时，原不等式的解集为［a，+∞）勐［0，1］；22x+x<-x-x，当a>1时，原不等式的解集为｛x-姨a

4、+∞）.当a=0时，0不在解集中；正解1：因为x∈［0，1］，当a=1时，1不在解集中.x2-x所以a≠0且a≠1.所以≤0.2故a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）.2x-x当<0时，已知不等式恒成立.正解3（数形结合）：在x∈［0，1］的条件下，当22a>1时，a>x恒成立；当a<0时，a

5、y正解1（解集法）：原不等式可等价转化为a<1-13或a>1-1在x∈≠1，1≠上恒成立圳1<1-a或xx2x3y=a111x；1-a在数轴上画出解集≠tt<或t＜a+1≠所表示当x∈（x1，1］时，a-时，由数32故a的取值范

6、围为（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）.轴易知只需a+1＞2即可，此时可得a＞1.正解4（考虑反面）：原命题的否定如下：1-a1若≥a+1，即a≤-时，由数轴易知只x2+x232x-x埚x∈［0，1］使得a-≤成立圳221-ax2+x2需>2即可，此时可得a＜-5.a-≤x-x在［0，1］有解圳x≤a≤x2在322综上可得a＜-5或a＞1.x∈［0，1］有解.故a的取值范围为（-∞，-5）∪（1，+∞）.2而由x≤x，得x≤0或x≥1.错解原因分析：为什么问题2的正解和错解均得因为x∈［0，1］，所以x=0或x=1.到同一个答案呢？这其中有偶然因素，这个偶然

7、因素代入得a=0或a=1.就在于问题2中，从逻辑上讲有三种情况的第三种情所以当a≠0，且a≠1时，原命题结论成立.况根本就不存在.以上两个例子表明，在解决含“或”故原命题中a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）∪命题恒成立问题的时候，一定要冷静思考，谨防非等（1，+∞）.价转化.问题2：已知函数f（x）是偶函数，且在［0，+∞）正解2（数形结合）：令f（x）=ax+1，g（x）=2-x，1上是增函数，若f（ax+1）＞f（x-2）在x∈≠1，1≠上定义域均为≠2，1≠.2可画出函数y=g（x）的图象，而函数y=f（x）的图恒成立，求实数a的取值范围．象过点（0，

8、1）且在函数y=g（x）