概率统计讲义(11-17页)

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1、《概率统计》讲义第11页第四节一维随机变量的函数的分布一、离散的情形：æöxx12xn设X为离散型随机变量，其分布列为：X~ç÷，怎样求出gX()的分布列？可以先èøpp12pnæög(x12)gx()gx()n写出：gX()~ç÷。若g(x12),g(x),,gx(n),互不相同，则写出的就是pppèø12ngX()的分布列。若g(x),g(x),,gx(),中有相同者，经过适当并项后可得gX()的分布列。12næö-101233æö-1018典型例题：设X~ç÷，则X的分布列是：X~ç÷。èø0.30.40.

2、10.2èø0.30.40.10.222æö0-1032æö-103X-1的分布列是：X-1~ç÷，即：X-1~ç÷。èø0.30.40.10.2èø0.40.40.2二、连续的情形：设X是个连续型随机变量，X的密度函数为fx()，又已知Y=gX()，怎样求Y的密度函数fy()？XY此类问题称为“密度变换问题”。可以用“分布函数法”解决此问题：F(y)=P(Y£y)=£P(g(Xy))Y=P()XÎK==f()xdx，f(y)=Fy¢()。òXYYK注：①F(x),f(x),F(y),fy()都是惯用的固定记号。XXYY②K是个区间

3、，其端点含有y，上述积分算出来是以y为自变量的函数。但并非一定要算出此积分，dj()x可利用如下结论对其求导：设gt()为连续函数，则：òg(t)dt=×g(jj(xx))¢()。dxa③以上只是计算P()XKÎ的方法之一，也可利用Fx()求P()XKÎ，或利用常见分布的有关结论X求P()XKÎ。④求Fy()经常要分情况讨论。可用如下方法简化解题过程：fx()的非零区间®X的YX取值范围®Y的取值范围®fy()的非零区间（假设是I），然后只要在区间I内求fy()。YYì6x(1-Îxx),()0,1例：若fx()=í，YX=+21，求f

4、y()。XYî0,xÏ()0,1解：X的取值范围为()0,1，∴Y的取值范围为()1,3。∴当yÏ()1,3时，fy()0=。Yy-1æöy-1当yÎ()1,3时，F(y)=P(Y£y)=P(21)X+£y=£PXç÷=2f()xdxYò-¥Xèø2y-1yy--1æö113=-26x()1xdx，∴f(y)=F¢(y)=6××ç÷1-×=(yy--13)()。ò0YY22èø242例：已知XN~(0,1)，求YX=的概率密度函数。x21-解：j()x=e2。显然Y可能的取值范围为[0,)+¥，∴当y<0时，fy()0=。Y2p2当y³

5、0时，F(y)=£P()Yy=P(X£y)=P(-y£X£y)=F(yy)-F-()Yy111-=2F-(y)1，∴f(y)=2F¢¢(y)×(yy)=×2j()=e2。Y2yy2p《概率统计》讲义第12页第四章多维随机变量及其分布第一节多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量的概念：很多随机试验的结果仅用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来描述，所以就有必要研究n维随机变量。n维随机变量一般记为()X,XX,,，是由n个随机变量组成的一个有机的整体。12n也称n维随机向量。上章研究的是一维随机变量。本章主要研究二维随机变

6、量，通常记为()XY,。二维随机变量()XY,可以视为xoy平面上的一个随机点，以后也简称二维随机点。要研究()XY,，主要是要研究其分布状况，也就是要弄清：()XY,可能落在xoy平面上哪些地方，以及落在不同地方的可能性大小如何。用()XY,的散点图可以直观地描述()XY,的分布状况。要严格地描述二维随机变量的分布状况，可以用联合分布函数。二、二维随机变量的联合分布函数：2二维随机变量()XY,的联合分布函数的定义是：F(x,y)=P(X££x,)Yy。定义域为R，即整个xoy平面。F(xy,)具有如下基本性质：①0££F(xy,)1

7、。②当x®-¥或y®-¥时，F(xy,)0®；当x®+¥且y®+¥时，F(xy,)1®。③若将y视为定值，则F(xy,)成为以x为自变量的一元函数，此函数是单调非降且处处右连续的。将x视为定值亦类似。可以证明，利用F(xy,)，能够计算()XY,落入任何一个平面区域D内的概率。因此，联合分布函数完整地描述了二维随机变量的分布状况。典型例题：课本P.74例1：求A、B、C。三、二维离散型随机变量的联合分布表：如果X、Y皆为离散型随机变量，则称()XY,为二维离散型随机变量。要表示二维离散型随机变量的分布状况，可用其“联合分布律”（或称联合

8、分布列）。联合分布律可以写成通式的形式，但建议尽量写成表格的形式，因为它更为直观，这个表格称为“联合分布表”。具体格式可参阅课本P.75。在实际问题中，要写出()XY,的联合分布表，应该首先将X、Y的所有可