直线与圆锥曲线的综合应用

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1、直线与圆锥曲线的综合应用考情分析考点新知会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法．　　掌握圆锥曲线的简单应用.1.(选修11P44习题4改编)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________．答案：y2＝12x解析：双曲线－＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p＝6，所以拋物线方程是y2＝12x.2.以双曲线－3x2＋y2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．答案：＋＝1解析：双曲线方程可化为－＝1，

2、焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．∴椭圆的焦点在y轴上，且a＝4，c＝2，此时b＝2，∴椭圆方程为＋＝1.3.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝________．答案：4解析：椭圆＋＝1的右焦点(2，0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以＝2，p＝4.4.已知抛物线y2＝2px的准线与双曲线x2－y2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案：(1，0)解析：设双曲线x2－y2＝2的实半轴、虚半轴、半焦距分别为a、b、c，则a＝b＝，c＝2.故其左准线x＝－＝－1，故－＝－1，p＝2.故焦点坐标为(1，0)．5.已知圆

3、C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为______________．答案：－＝1解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质．圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，令y＝0x2－6x＋8＝0，得圆C与坐标轴的交点分别为(2，0)、(4，0)，则a＝2，c＝4，b2＝12，所以双曲线的标准方程为－＝1.1.圆锥曲线的统一定义17平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．2.曲线

4、的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．3.平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．4.求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p

5、的点M的集合P＝{M

6、p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．17题型1　最值问题例1　设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)、B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．(1)若＝6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值．解：(1)依题设得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB、EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x

7、2，且x1、x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝①.　由＝6，知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝(6x2＋x0)＝x2＝，由D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝.所以＝，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.(2)解法1：根据点到直线的距离公式和①式，点E、F到AB的距离分别为h1＝＝，h2＝＝.又AB＝，所以四边形AEBF的面积为S＝AB·(h1＋h2)＝··＝＝2≤2.当2k＝1，即当k＝时，上式取等号．所以S的最大值为2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准

8、线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．(1)求证：A、C、T三点共线；(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．(1)证明：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T.17AT：＋＝1②，BF：＋＝1③，解得交点C，，代入①得＋＝＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T三点共线．(2)解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.设P(x0，y0)，则x0＋2y＝2c2.此时C，AC＝c

9、，S△AB