控制系统的根轨迹分析法

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1、第五节控制系统的根轨迹分析法7/30/20211利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正由给定参数确定闭环系统极点的位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能；根据性能要求确定系统的参数；对系统进行校正。7/30/20212一、条件稳定系统的分析[例4-11]：设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时的取值范围。开环极点：0，-4，-6，，零点：实轴上根轨迹区间：渐进线：与实轴的交点：倾角：[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：7/30/20213分离会合点：3.9497.4579.3758.80

2、5.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。由：可以求得分离点s=－2.3557。近似求法：分离点在[-4，0]之间。分离角：7/30/20214由图可知：当和时，系统是稳定的；画出根轨迹如图所示，该图是用Matlab工具绘制的。出射角：，入射角：与虚轴的交点和对应的增益值：当时，系统是不稳定的。这种情况称为条件稳定系统7/30/20215条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这样的系统叫做条件稳定系统。具有正反馈的环节。下面的系统

3、就是条件稳定系统的例子：开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s的右半平面；条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上，应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题。7/30/20216[例]非最小相位系统：，试确定使系统稳定时的增益值。[解]：根轨迹如右：有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为。闭环特征方程为：，当s=0时，，所以，系统稳定的条件是：7/30/20217二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定利用根轨迹可以清楚的看出开环根轨迹增益或其他开环系统参数变

4、化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例：开环传递函数为闭环传递函数为共轭极点为：在s平面上的分布如右图：闭环极点的张角为：所以称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。7/30/20218我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，则有：的关系如下图7/30/20219上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量，试确定开环放大系数。[解]：首先画出根轨迹如

5、右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为+j5,-j5，这时的临界增益当时，闭环系统不稳定。7/30/202110下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：当时解得：这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。在根轨迹图上画两条与实轴夹角为的直线，与根轨迹交与A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益，进而求得开环放大系数K。设A点坐标为：，则：（1）相角条件为：（2）7/30/202111由(1)，(2)式

6、解得：共轭主导极点为：。开环传递函数以的形式表示时，K称为开环放大系数。显然的关系为：，式中不计0极点。所以，开环放大系数：由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：。该极点是共轭复极点实部的6倍多。解得：实部方程虚部方程也可令代入特征方程7/30/202112例：单位反馈系统的开环传递函数为⒈画出根轨迹;⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？解：⒈画根轨迹①实轴无根轨迹②渐近线s=-2.5，q=±45°,±1

7、35°③与虚轴交点w=±2，Kgp=1007/30/2021137/30/202114⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？当取阻尼角为45°的主导极点时，δ%≤5%的要求。由根轨迹可见阻尼角为45°的线与根轨迹相交，可求得极点为s=－0.8+0.8j，另一对极点为s=－4.2+0.8j。相差5.25倍，所以极点s=－0.8+0.8j满足主导极点的要求。⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？要求ts≤2秒，即要求3/s≤2，s≥1.5。由根轨迹可知主导极点的实部

8、≤1，所以不能通过选择Kg满足ts≤2秒的要求。所以不能通过选择Kg满足Kp≥10的要求。7/30/202115[特别说明]：开环零、极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。一般说，开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原