圆锥曲线与直线的关系

《圆锥曲线与直线的关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§1-4圓錐曲線與直線的關係(甲)圓錐曲線與直線的關係(1)直線與錐線的關係：(2)原理：設f(x,y)=ax2+by2+cx+dy+e=0為一圓錐曲線G的方程式，直線L：px+qy+r=0討論G與L的交點個數Û討論的實數解(x,y)的個數將(2)中L的方程式px+qy+c=0代入(1)(消去其中一個變數y)，化成一個一元二次方程式Ax2+Bx+C=0，根據判別式D=B2-4AC，則得到(a)當D>0時，L與G交於相異兩點。(b)當D=0時，L與G交於一點。(c)當D<0時，L與G沒有交點。~1-4-17~[例題1]xy平面上有直線L：y=mx+3與橢圓G：+=

2、1，試由m值討論直線L與橢圓的相交情形。Ans：(1)m>或m<-G與L相交兩點(2)m=±G與L只有一個交點(3)-或m<-(乙)圓錐曲線的切線上圖中拋物線的軸L0與其僅交於一點，但並不是切線，因此與錐線僅交於一點的直線並不一定是切線，那麼切線應如何定義呢？(1)切線的定義：設直線L與錐線G相交於P、Q兩點，當直線L連續變動時，P和Q兩點沿著錐線漸漸靠近，一直到P與Q兩點重合成一個點T，此時直線L稱為錐線G在T點的切線，T點稱為切點。通過切點T且與切線垂直的

3、直線稱為錐線在T點的法線。但是這個定義牽涉到微積分的知識，超出高中數學的範圍。因此在這裡我們處理錐線的切線問題，依然使用之前所提及的原理，只是有時要利用其他性質來輔助。(2)切線方程式的求法：根據之前的原理，我們分成以下幾個型態：~1-4-17~(a)已知切線斜率求切線方程式：[例題1]設拋物線的方程式y2=-8x，試求斜率m=2之切線方程式，並求切點。Ans：y=2x-1，(,-2)[例題2]設錐線G：+=1，(AB¹0)若有斜率m的切線，則此切線的方程式為y=mx±。(練習1)若設拋物線y2=4cx，則斜率為m的切線方程式為y=mx+。(練習2)若設拋物線x

4、2=4cy，則斜率為m的切線方程式為y=mx-cm2。結論：(1)給定斜率求切線：圓錐曲線斜率m的切線+=1y=mx±y2=4cxy=mx+x2=4cyy=mx-cm2(2)將上表中的方程式沿向量=(h,k)平移時，切線方程式亦隨之沿向量=(h,k)平移。~1-4-17~[例題1]根據上表的切線公式，雙曲線-=1的切線方程式為y=mx±請討論m的值與切線的存在性。(練習1)試求下列各曲線G中，斜率為m的切線：(1)G：x2+y2-4x+2y=0，m=(2)G：y=x2-3x+5，m=2(3)G：+=1，m=-2Ans：(1)y=x-±(2)y=2x-(3)y=-

5、2x+2±(練習2)求垂直於3x-2y+1=0且與-=1相切的直線方程式。Ans：2x+3y±8=0~1-4-17~(練習1)設雙曲線Γ：4x2-9y2+8x+36y-68=0，依下列各斜率作切線，求其方程式。(1)m=2(2)m=(3)m=(4)m=(5)m=Ans：(1)y=2x+4±4(2)(3)(4)(5)無法作切線(b)已知切點求切線方程式：例子：求過橢圓+=1上一點P(6,4)的切線方程式。[解法]：設過P的切線之斜率為m，根據切線公式，切線方程式為y=mx±根據圖形可得切線為y=mx+，又切線通過P(6,4)Þ4=6m+Þ64m2+48m+9=0Þ

6、m=。Þ切線方程式為y-4=()(x-6)。[例題1]求過雙曲線G：-=1上點P的切線方程式。(1)P(5,)(2)P(3,0)Ans：(1)y-=(x-5)(2)x=3~1-4-17~一般情形：(證明僅供參考)圓錐曲線ax2+cy2+dx+ey+f=0上點P(x0,y0)的切線L方程式為ax0x+cy0y+d()+e()+f=0。[x2®x0x，y2®y0y，x®，y®，f®f][證明]：設切線斜率為m，則L的方程式為y-y0=m(x-x0)，化為y=mx-mx0+y0代入G的方程式，得ax2+c(mx-mx0+y0)2+dx+e(mx-mx0+y0)+f=0

7、展開後得(a+cm2)x2+[2cm(y-mx0)+d+em]x+[c(y0-mx0)+e(y0-mx0)+f]=0…(*)因為切線L與G的方程式僅切於一點P(x0,y0)，因此(*)可解出重根x=x0。由根與係數的關係Þ2x0=-Þm(2cy0+e)=-2ax0-dÞm=-切線L的方程式為y-y0=(-)(x-x0)Þ(2ax0+d)(x-x0)+(2cy0+e)(y-y0)=0展開整理成(2ax0x+2cy0y+dx+ey)-2(ax02+cy02)-(dx0+ey0)=0又點P(x0,y0)在曲線G上Þax02+cy02=-(dx0+ey0+f)代入上式可

8、得(2ax0x+2cy0