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1、基于对角线引理和维特根斯坦思想对于悖论的分析庄朝晖厦门大学计算机科学系悖论的定义悖论的出现：在20世纪初期关于数学基础的讨论中，出现了大量的悖论，比如康托尔悖论、罗素悖论、理查德悖论等等。悖论的定义：“如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么，我们说这个理论包含一个悖论。”对角线引理两类悖论：拉姆塞（（FrankP.Ramsey））在“数学基础”论文中，把悖论分为逻辑－数学悖论和语义悖论两大类，后来这两大类悖论也被称为语形悖论和语义悖论。对角线引理：1962年，汤姆森（J.F.Tho
2、mson）发表论文“论几个悖论”，令人信服地显示所谓的语形悖论和语义悖论实际上有共同的结构，都与康托尔对角线方法有密切的关联。理发师悖论理发师悖论：在一个小镇上有一位理发师，这位理发师遵守这样的规则：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义他不能给自己理发。主流的（蒯因）解决方案：不存在这样的理发师。或者，不存在能够遵守该规则的理发师。因此，“理发师悖论”往往被认为是伪悖论。本文认为，理发师悖论依然是典型的悖论。对于理发师悖论的可能证明过程：假设有如此一位理发师。如果他要给自
3、己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。这样的证明过程是可疑的。以下我们进行新的分析。理发师的规则，对于他人都是没有问题的。问题发生在对于自己。以下是简化版。对于理发师悖论的分析例1：小庄说：我给自己理发当且仅当我不给自己理发。（在保留特征后的简化版）可能解决方案是：不存在能够遵守该规则的小庄，不存在既给自己理发又不给自己理发的小庄。这样的解决方案是有些奇怪的。本文的方案：规则对于“小庄要不要给自己理发”没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。两种方案比较：本来没有规则，谈不上
4、有没有能守规则的人。本文的方案更根本。例2：小庄说：我给自己理发当且仅当我给自己理发。分析：规则对于“小庄要不要给自己理发”，什么都没有定义，只是给出一个重言式。共同的是，对于“小庄要不要给自己理发”什么都没有定义，什么都没有讲。没有给出定义的两种语句：矛盾式是不懂得如何讲话，什么都没有讲。重言式是懂得如何讲话，但讲了一句废话，也什么都没有讲。递归函数的例子例3：f(x)=f(a)当x=a分析：f(a)的值其实没有定义。例4：f(x)<>f(a)当x=a分析：f(a)的值其实没有定义。如果认为存在定义，会产生矛盾。例5：f(x)=1-f(a)当x=a，f(x)=0，其他情况分析：f(a)的值
5、其实没有定义。如果认为存在定义，会产生矛盾。同样地，对于理发师悖论，解决方案是：理发师给出的规则，对于“理发师是否要给自己理发”没有给出定义。这个规则用于自身时，是没有定义的。如果认为存在定义，就会产生矛盾。理发师貌似给出对于所有人的规则，然而其实上，他并没有给出对于自己的规则。背后的成见：当我们给出规则的时候，我们以为规则必然处处有定义，其实规则并不一定处处有定义。对于理发师悖论，主流解决方案是“不存在符合规则的理发师”，而我们的解决方案是：“理发师给出的规则对于是否给自己理发并没有定义，如果认为有定义就会矛盾”。“理发师是否给自己理发”，是没有定义的。在没有规则的地方，谈不上有没有能守规
6、则的人。对角线引理1962年，汤姆森（J.F.Thomson）发表论文“论几个悖论”，令人信服地显示所谓的语形悖论和语义悖论实际上有共同的结构，都与康托尔对角线方法有密切的关联。他基于康托尔对角线方法，提出对角线引理。汤姆森成功地将罗素悖论、格雷林悖论和理查德悖论等表达成对角线的形式。以下，我们来思考一下对角线方法。康托尔对角线方法1891年，康托尔使用对角线方法证明：实数集是不可数的。以下是证明过程。设M为所有形如：(x1,x2,x3,x4……)（其中的xi是0或1）的元素的集合。假设M可数的。那么我们可以枚举M中的元素。例如：E1=(0,0,0,0,……) E2=(1,1,1,1,……)
7、 E3=(0,1,0,1,……) ……在此基础上，定义E0=(b1,b2,b3,……bu,……)，其中b1与a1.1不同,b2与a2.2不同,一般地,对于所有的n，bn与an.n不同。在上例中，E0=(1,0,1,……)。E0显然是M中的元素。现在，不妨设E0等于某一个Ei。然而，根据E0的定义，bi与ai.i不同，因此E0不等于Ei。矛盾。因此，假设是错误的，集合M是不可数的。因为集合M与实数集之间可以建立
