化高阶方程为一阶方程组

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1、第四章线性微分方程（组）的理论与解法线性微分方程的理论是微分方程理论中发展得比较成熟的部分。在第一章中，曾经给出过线性微分方程的概念，这里系统地介绍它们的一般理论和解法。5.1化任意正规型微分方程和方程组为一阶正规型微分方程组在第一章中，我们给出了微分方程的阶和解等概念，这些概念可以对方程组类似的加以定义。先从两个未知函数的情形说起，这时方程组的一般形式是（5.1.1）其中x是自变量，y和z是未知函数，F和G是它们所依赖的m+n+1个变量的已知函数。出现在方程中的未知函数y的导数的最高阶数称为方程组（5.1.1）关于y的阶。未知函

2、数z的导数的最高阶数称为方程组（5.1.1）关于z的阶。而m+n则称为方程组（5.1.1）的阶。函数组称为方程组（5.1.1）在区间I上的解，如果它们在I上有定义，具有从1到m阶导数，具有从1到n对所有成立。类似地可以定义含而出现在方程组中的的导数的最高阶，则阶导数，并且能使三个和更多个未知函数的微分方程组的解。如果方程组中的未知函数为数为则称为方程组关于的阶，而称为方程组的阶。对于方程组（5.1.1），初值问题或Cauchy问题的提法是，任意给定初始条件求方程（5.1.1）满足这个条件的解。这里和一个方程的情形一样，关于每个未知

3、函数的初始条件的个数必须正好等于方程组关于这个未知函数的阶数。（5.1.2）关于含有任意多个未知函数的方程组的初值问题或Cauchy问题的提法也可以类推。从关系式（5.1.1）中就最高阶导数解出所得到的方程组称为正规型微分方程组，这里f和g都是它们所依赖的m+n+1个变量的已知函数。形为（5.1.1）的方程组称为隐形微分方程组（5.1.3）关于正规性方程（组）和隐形方程（组）的说法对于含有任意多个未知函数的微分方程组也是适用的。以后我们将着重研究含有n个未知函数的n个一阶常微分方程构成的常微分方程组，如果已经就解出，则它的一般形式

4、是或（5.1.5）（5.1.4）对于正规型微分方程（5.1.7）（5.1.6）如果令则它与下面的微分方程组等价的形如（5.1.5）的正规型（5.1.8）显然方程组（5.1.8）是一个含有未知函数微分方程组。这里等价的意义是，如果是方程（5.1.6）在区间I上的解，令则显然有这表明是方程组（5.1.8）在区间I上的解。（5.1.9）（5.1.10）反之，设是方程组（5.1.8）在区间I上的解。于是关系式（5.1.10）在I上恒成立。由此关系式的前n-1个式子，首先看出函数满足（5.1.9），在由此及（5.1.10）的最后一个式子，得

5、出这表明是方程组（5.1.6）在区间I上的解。类似地，含有n个未知函数的高阶微分方程组，总可以化成形如（5.1.5）的一阶微分方程组。以两个未知函数的（5.1.3）为例，与其等价的一阶微分方程组是（5.1.11）根据上述的等价性，任意一个正规型微分方程或微分方程组的研究都可以化为形如（5.1.5）的正规型微分方程组的研究。因此我们将大部分注意力放在（5.1.5）型方程的研究上。对于这类方程组进行研究得到的结论，通过上述等价性，立即可以推广到任意正规型方程或方程组上去。如果方程组（5.1.5）中每个方程中的（5.1.12）作为n+1

6、元函数，它的变元除自变量x以外全是线性的，则称这样的方程组为一阶线性微分方程组，正规型一阶线性微分方程组的一般形式是其中系数上都是连续的已知函数。采用矩阵和向量记号则可以将（5.1.12）写成向量形式.（5.1.13）当时，即得（与（5.1.13）相应.（5.1.14）的）齐次线性微分方程组