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《高阶微分方程与方程组的解法120314154》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、学生姓名王梓菁学号120314154系部专业统计学年级12级班完成日期2014年6月16日木文首先介绍了高阶微分方程的一些理论与结构。进而介绍了高阶齐次线性微分方程的求解方法和高阶非齐次线性微分方程的求解方法，在求解齐次线性微分方程里主要采用了特征根法；在求解非齐次线性微分方程里主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法和常数变易法。其次又介绍了几类可降阶的微分方程的解法，主要有形如=fM,Fg产,yE,・・・，/°)=O,…,严)=0,ax恰当导数方程和Euler方程的降阶方法，并且研究了儿类较为复
2、杂的高阶微分方程的降阶问题。最后通过一些在现实生活中例子对这些方法的具体应用做了介绍。关键词：高阶常微分方程；常数变易法；特征根法；降阶法1、存在唯一性定理1.1记号和定义坷佔+如吃+…+坷“兀“二勺_阶线性微分方程组是指形为严2內+如兀2+…+如也严E⑴4內+冷2兀2+・・・+%”屁=4的方程组，其中xpx2,...,xz/代表〃个未知量；加是方程的个数，(/=1,2,,m,j=1,2,称为方程组的系数巧仃=1,2,...,加)称为常数项。方程组(1)屮未知量的个数斤与方程的个数加不一定相等，
3、系数舛的第一个指标，表示它在第，个方程丿•表示它是◎的系数。线性方程组(1)还可以表示成矩阵形式：引入矩阵%>■A=^21••••°22••••…仏•••b=b2■■■,x=兀2■■■4%••叽A_那么方程组(1)可以写成AX=b矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵,X称为未知量矩阵，b称为常数项矩阵b2称为线性方程组(1)的增广矩阵。k若x,=k^x2=k2,...,xn=kn是方程组(1)的一个解，则X=■称为方程组(1)的一个解向量，它就是方程组(1)的一个解。1・2线性方程组有解的
4、判别定理定理1(线性方程组有解的判别定理)线性方程组(1)有解的充要条件是它的系数矩阵/a\a2、…a”？。12…。巾A=a2la22••••••••…•••和增广矩阵瓜=a2•••^22•…°2打••••••b2®%•••%丿%…％饥＞有相同的秩。证明充分性：如/?(£=/?(可，那么向量组。］©2，.・•，乞与向量组0,。2,…心，0有相同的秩，于是向量组匕,©2,…,％与向量组0,。2，・・・，。”，0有相同的最大独立组，故0可由该最大独立组线性表示，从而可由向量组apa2,...,
5、a„线性表示，即存在一组数使0=kg+k2a2+...+knan成立。必要性:如存在一组数Z],%，…，厶使0=Z0]+，2。2+…+-0"成立，这说明0可由向量组ava2,....an线性表示，从而向量组与向量组0,°2，・・，。”，0等价。于是向量组010,…,％与向量组匕,。2,…,％，0有相同的秩,即7?（A）=7?（A）o2.线性方程组的解法2.1克拉默（Cramer法则〉定理1（Cr^er法则）并个未知量斤个方程的线性方程组auXx+。
6、2兀2+・・・+。1“£=勺(8)勾西+a21
7、x2+...+ci2nxn=b2亠同+色2勺+…+色”捡二亿的系数矩阵a\°21的行列式d=
8、A
9、HO,那么线性方程组（8）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为d2dn'儿2—万，•…'人"-~其中巧是把矩阵A中第丿列换成方程组的常数项勺厶,…也所成的矩阵的行列式，B
10、j…°1J-lb5鬥…a7a2ClJ=•■■…a2J-••••••b2■••。2』+1■■■…a2n.i••，丿=1,2,…••••anl…Q“j-ibna仏丿+i…证明1•把方程组(8)简写为工知®,z=1,2,
11、...,/?.冃首先验证x.=—,x2=—,...,xn=—是(8)的解•我们把d'dd=人,x代入第，个方程，左端为d「dd因为5=勺州+乞亀+・・・+切九二工2每,5=1所以1”1〃斤万乞吶二万£坷£勺码aj=lay=l5=1由工兔人=s=Gj=l5=1有d，当k=i0,当kwijZDiA=~j・d®=bi・U5=1VJ=l丿U生代入方程使这与第i个方程的右端一致。换句话说，把兀严电£=冬...,兀严da它们同时变成恒等式，因而X=$K=冬,…，凡=纠确为方程组(8)的解。acla2.设
12、(q,q,…，cj是方程组(8)的一个解，于是有〃个恒等式工aqCj=bt,z=l,2,.冃为了证明q=葺,我们取系数矩阵中第k列元素的代数余子式绻，码，…，饥，用它们分别乘£a(jCj=勺中n个恒等式，有;=1Aik工QgCj=b：Aik,i=,2,・・・，斤,j=这还是q个恒等式。把它们加起来，即得H〃打工4工4产广工勺九/=1；=1Z=1等式右端等于在行列式d按第R列的展开式中把乐分别换成勺(,=1,2,...‘)，因此，它等于把行列式d中第Z：列换成b」2,…也所得的行列式，也就是心
