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时间:2019-05-31
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1、第六节方程组与高阶方程的情形5.6.1一阶方程组一阶微分方程组的一般形式为:==))(,...),(,()(.........))(,...),(,()(1111xyxyxfxyxyxyxfxymmmm初值0002020101)(,...,)(,)(mmyxyyxyyxy===将问题记作向量形式,令:前述所有公式皆适用于向量形式。以两个方程构成的方程组为例:设为节点上的近似解,则有改进的Euler格式为预报:校正:例用改进的Euler法求解初值问题取步长h=0.1,保留六位小数。解:改进的Euler法公式为预报:校正:由初值,计算
2、得相应的四阶龙格—库塔格式(经典格式)为式中这是一步法,利用节点上的值,,由上式顺序计算然后代入即可求得节点上的多个方程的Runge-Kutta形式可写为:5.6.2化高阶方程组为一阶方程组====---10)1(1000)1()()(,...,)(,)(),...,,,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作一阶微分方程组求解。引入新变量初值条件为:即可将n阶方程化为如下的一阶方程组例如,二阶微分方程的初值问题在引入新的变量后,即化为一阶方程组初值问题:上式为一个一阶方程组的初值问题。应用四阶龙格-库塔公式得消去,上式简化为:
3、上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方程(或方程组)的初值问题例求解下列二阶微分方程的初值问题取步长h=0.1解:先作变换:令,代入上式,得一阶方程组用四阶龙格-库塔方法求解计算:取步长,,,时然后计算时的y2和z2;依此类推,直到i=9时的y10和z10,即可得到其数值解。
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