函数图象平移与伸缩的通解

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1、函数图象平移与伸缩的通解对于函数图象的平移与伸缩问题，传统的处理手法过于繁杂，记忆量大，难于掌握.本文试图用代换的手法将其作一般性的探讨.一、函数图象的平移事实上，设函数的图象，向右平移个单位，得到的图象的解析式是,令点是的图象上任一点，点向右平移个单位得点，则点在的图象上，且，有，于是，把函数的图象，向右平移个单位，得到的图象的解析式是（即以代换）.我们定义：当时，表示向右平移；当时，表示向左平移.例1函数是偶函数，则函数的对称轴是A，B，C，D，分析：函数是偶函数，∴其对称轴为，以代换，有，令，解得，故函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，其对称轴也相应地向左平移了个单位，故选D.例

2、2要得到函数的图象，只需要将函数的图象A，向左平移个单位B，向右平移个单位C，向左平移个单位D，向右平移个单位解1：∵，而在中，以代换，有.12令，解得.故选A.解2：.在中，以代换，有，令，解得.故选A.同样地，把函数的图象，向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的图象的解析式是（即以，分别代换，）.同样，我们定义：当时，表示向上平移；当时，表示向下平移.例3函数的图象，经过怎样的平移变换得到函数的图象？解：在中，以，分别代换，，有.即，经对比，有，解得.故把函数的图象，向左平移个单位，再向上平移3个单位，便得函数的图象.二、函数图象的伸缩与平移事实上，设把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍

3、（纵坐标不变），得到的图象的解析式是,令点是的图象上任一点，点的横坐标伸长到原来的倍，得点，则点在的图象上，且，有，于是，设把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象的解析式是（即以代换）.我们定义：当时，表示伸长；当时，表示缩短.12例4函数的图象，经过怎样的平移和伸缩变换得到函数的图象？解1：（先平移后伸缩）在中，以，分别代换，，有，再以代换，有，即.对比有，得.即把函数的图象向左平移个单位，再向上平移4个单位，后将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数的图象.解2：（先伸缩后平移）在中，以代换，有，再以，分别代换，，得，即于是，得，∴.即把函数的图象横坐标缩短到

4、原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，后向上平移4个单位，可得函数的图象.把函数的图象的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的倍，得到的图象的解析式是（即分别以，代换）.我们定义：当时，表示伸长；当时，表示缩短.例5已知函数，将的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.（I）求的解析式及定义域；（II）求的最大值.解：（I）依题意，在中，以（即）代换，得，即，再以代换，得.故得…….下略.12例6函数的图象，经过怎样的变换得到函数的图象？解1：（先伸缩后平移）在中，分别以，代换，有，再以代换，得，即，令，得.故把函数的图象，横坐标伸长到原来的

5、5倍（纵坐标不变），再将纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），后向右平移个单位，即得函数的图象.说明：本题也可“先平移后伸缩”行变换，这个留给读者完成.（柯正摘自《试题与研究》高考数学，2004/33）12