平面几何综合复习(四)

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1、平面几何综合复习(四)【例题精选】：例1：已知：如图圆内接△ABC中，AB=BC，PA是圆的切线PB与圆相交于D点，连结CD，求证：[分析]：本题考查，圆中证相似，首先将要证的结论等积式，化成等比式，即求证：化为在“横”找或“竖”找这四条线段是否可构造两个三角形，通过“横”找发现了△ADC，又因为已知AC=AB，所以通过代替比例式化为，接着“横”找到△ABP，只要证出△ADC∽△PAB即可。证法一：连结AD∵PA是圆的切线，∴∠PAB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC又∵∠ABC=∠ADC∴∠PAB=∠ADC∴易知：∠PBA=∠ACD∴△PAB∽△ADC∴即∴证法二：连结AD∵AB

2、=AC∴∠ACB=∠ABC又∵PA是圆的切线∴∠PAB=∠ACB∴∠PAB=∠ABC∴PA∥BC∴∠APB+∠PBC=180°又∵∠DAC+∠PBC=180°∴∠APB=∠DAC易知∠PBA=∠ACD∴△APB∽△DAC以下同证法一。证法三：连结AD，同证法一证得∠PAB=∠ADC，同证法二证得∠APB=∠DAC直至证得△PAB∽△ADC以下同证法一例2：已知：如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P，弦AF交CD于E，求证：[分析]：此题有直径与弦互相垂直，因此垂径定理的一垂直三平分要得到充分的发挥，要证的结论，转化成比例式是：，易发现该题利用共线，共角的两个三角形相似即可，连结DF则成功。证

3、明：连结DF，∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，∴∴∠ADC=∠F又∵∠DAE=∠FAD∴DADE∽DAFD∴，即例3：已知：如图，⊙O中弦AB∥CD，B是的中点，OB交AD于G点，过B点的切线与CD的延长线交于E点，求证：2AG·AD=BD·CE分析：由题目B是的中点，及OB是⊙O的半径，易由垂径定理得到，同时利用有切线联想弦切角即，从而得到BE∥AD已知AB∥CD得到四边形ADEB是平行四边形，再由边等及切割线定理得结论。证明：∵B为的中点，OB为半径。∴∠ADB=∠A，AD=2AG，∴AB=BD∵EB切⊙O于B∴∴BE∥AD，∵AB∥CD，∴ADEB是平行四边形，∴AD=BEDE=AB=

4、BD∴∴例4：已知：如图，DB为⊙O的直径，A为BD延长线上的一点，AC与⊙O的相切于点E，CB⊥AB，若AE∶EC=2∶1，DE+BE=4+。求：△ABC的面积分析：题目考查圆中证相似，并且体现了在解题过程中利用方程思想将线段AE∶EC=2∶1设ED=x，则AE=2x由基本图形得到，再由勾股定理可，再由△ADE∽△AEB找出DE与BE的比值关系，与已知联立分别解出DE，BE的值，从而得到x的值，并求出结论。解：设，∵AE∶EC=2∶1∴AE=2x又∵DB是直径，CD⊥DB，∴CB是⊙O的切线，∴CB=CE=x在Rt△ABC中，由勾股定理得∴∵∴△ADE∽△AEB∴∴∴在Rt△BED中，由勾股

5、定理得例5：已知：如图，BC是⊙O的直径，PA切⊙O于A，交CB的延长线于P，AD是弦，且PA∶PB=3∶1，BC=20求：BD的长。分析：此题是发散思维方法的题目，由已知联想，由图形联想是题设和结论相结合探索解决问题的体现。由切线和已知可得△PCA∽△PAB，再由切割线定定理联立比例式，通过已知构成，并由直径构成Rt△，利用勾股定理求出AB，和AC，再由切割定理求出，PB和PA，从而易得△BAD∽△APC，求得BD长。解法一：连结AC，∵PA是⊙O切线，∴∠PAB=∠C，∠P=∠P，∴△PCA∽△PAB，∴由切割线定理得：∴即∵BC是直径∴∴即∵，∴∴，在和中，解法二：连OA，CD∵PA切⊙

6、O于A∴∵PA∶PB=3∶1设PA=3KPB=K∴解得∴∵PA是切线，∴又∵BC是⊙O的直径∴例6：已知：如图，⊙O1和⊙O2切于P点，经过P点作直线AB和CD，AB交⊙O1于A点，交⊙O2于B点，CD交⊙O1于C点，交⊙O2于D点。求证：分析：两圆相切（内，外）时，作两圆的公切线往往是勾通两圆相关条件的桥梁，所以要证只要证：这样将转化证的问题，易看出只要作两圆的公切线MN即可。证明：作内公切线MN，连结AC，BD，则∠1=∠A，∠2=∠B∵∠1=∠2∴∠A=∠B∵∠3=∠4∴△CPA∽△DPB∴AP∶BP=CP∶DP即：AP·PD=PB·PC例7：如图：已知：⊙O1和⊙O2相交于点A和B，且

7、O1在⊙O2上，过A点的直线CD分别与⊙O1和⊙O2相交于点C，D，过点B的直线EF分别与⊙O1和⊙O2交于点E，F，⊙O2的弦O1D交AB于P，求证：（1）CE∥DF（2）分析：要证CE∥DF，须找出一对相关的角，利用圆内接四边形的性质和公共弦AB，易证出∠E+∠F=180°故CE∥DF，证明：（1）∵ACEB是⊙O1的内接四边形∴∠DAB=∠E∵ABFD为⊙O2的内接四边形∴∠DAB+∠F=1