应力和应变理论

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1、第十一章应力与应变理论塑性成形是利用金属的塑性，在外力作用下使其成形的一种加工方法。作用于金属的外力可分为两类：1作用在金属表面上的力，称为面力或者接触力，它可以是集中力，一般情况下是分布力。面力可以分为作用力、反作用力和摩擦力。作用力是由塑性加工设备提供的，用于使金属坯料发生塑性变形。反作用力是工具反作用于金属坯料的力。一般情况下，作用力与反作用力互相平行，并组成平衡力系。摩擦力是金属在外力作用下产生塑性变形时，在金属与工具的接触面上产生阻止金属流动的力。该力的存在往往引起变形力的增加，对金属的塑性成形往往是有害的。2作用在金属物体每个质点上的力，

2、称为体积力。体积力是与变形力内各质点的质量成正比的力，如重力、磁力和惯性力等。第一节应力空间一应力的概念在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力。图11-1a在F面上围绕Q点取一很小的面积ΔF，该小面积上内力的合力为ΔP，则定义为截面F上Q点的全应力。全应力S是一个矢量，可以分解成两个分量，垂直于截面的正应力σ和平行于截面的切应力τ。显然有图11-1面力、内力和应力一应力的概念若将截取的下半部分放入空间坐标系Oxyz中，并使截面F的法线方向N平行于y轴（图11-1b），则全应力S在三个坐标轴上的投影称为应

3、力分量，它们是σy、τyx、τyz。在变形体内各点的应力情况一般是不同的。对于任一点而言，过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上，Q点的应力是不同的。仅用某一个切面的应力不足以全面表示该点的应力情况。为了全面表示一点的应力情况，下面引入点的应力状态的概念。设在直角坐标系Oxyz中有一承受任意力系的变形体，过变形体内任意点Q切取一六面体作为单元体，其棱边分别平行于三坐标轴。在互相垂直的微分面上的全应力都可以按坐标轴方向分解成一个正应力和两个切应力分量，这样，在三个互相垂直的微分面上就有三个正应力分量和六个切应力分量，共计9个应力分量，它们是σxx

4、,σyy,σzz,τxy,τyx,τyz,τzy，τzx,τxz。它们可以完整地描述一点的应力状态，如图11-2所示。按应力分量的符号规定，两个下角标相同的正应力分量，例如σxx表示x面上平行于x轴的正应力分量，可简写为σx；两个下角标不同的是切应力分量，例如τxy表示x面上平行于y轴的切应力分量。将9个应力分量写成矩阵的形式为：二、直角坐标系中一点的应力状态图11-2直角坐标系中单元体的应力分量二、直角坐标系中一点的应力状态应力分量有正、负号，确定方法为：当单元体的外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为负面。在正面上指向坐标轴正向的应力分量取

5、正号，指向相反方向的取负号。负面上的应力分量则相反。按此规定，正应力分量以拉为正，以压为负。由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴的合力矩等于零，由此导出切应力互等定理：实际上，一点的应力状态中的9个应力分量只有6个是互相独立的，它们组成对称的应力张量σij若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。二、直角坐标系中一点的应力状态如图11-3所示，设过Q点任一斜切面的法线N与三个坐标轴的方向余弦为l，m，n，l=cos(N,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)。若斜微分面A

6、BC的面积为dF，微分面OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z面)的微分面积分别为dFx、dFy、dFz，则各微分面之间的关系为：dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF又设斜微分面ABC上的全应力为S，它在三坐标轴方向上的分量为Sx、Sy、Sz，由静力平衡条件ΣPx=0，得：整理得：图11-3任意斜切微分面上的应力用角标符号简记为显然，全应力二、直角坐标系中一点的应力状态斜微分面上的正应力σ为全应力S在法线N方向的投影，它等于Sx,Sy,Sz在N方向上的投影之和，即：斜切微分面上的切应力为：所以，已知过一点的三个正交微分面上9个应力分量，

7、可以求出过该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。如果质点处于受力物体的边界上，则斜切微分面ABC即为变形体的外表面，其上的表面力（外力）T沿三坐标轴的分量为Tx、Ty、Tz，其值为简记为上式称为应力边界条件。三、张量和应力张量1角标符号和求和约定成组的符号和数组用一个带下角标的符号表示，这种符号叫角标符号。用角标符号表示物理量在坐标系中的分量，可以使冗长繁杂的公式在形式上变得简洁明了。如直角坐标系的三根轴x、y、z，可写成x1、x2、x3，用角标符号简记为xi(i＝1,2,3)；空间

8、直线的方向余弦l、m、n可写成lx、ly、lz，简记为li(i＝x、y、z)。如果一个坐标系带有m个角标，每