1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

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1、普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（B）（A）（B）（C）（D）（2）函数的反函数是（C）（A）（B）（C）（D）（3）极坐标方程表示（B）（A）一条平行于x轴的直线（B）一条垂直于x轴的直线（C）一个圆（D）一条抛物线（4）函数是（A）（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数（5）给出20个数：（B）87，91，94，88，93，

2、91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（A）1789（B）1799（C）1879（D）1899（6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（D）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞（7）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（A）（A）D=E（B）D=F（C）E=F（D）D

3、=E=F（8）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有（A）SG3FDG1G2E（A）SG⊥△EFG所在平面（B）SD⊥△EFG所在平面（C）GF⊥△SEF所在平面（D）GD⊥△SEF所在平面（9）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）YYYYXOXOOXOX（10）当时，在下面关系式

4、中正确的是（C）（A）（B）（C）（D）二．（本题满分24分）（1）求方程的解普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞答：（注：仅写出其中一个解的，给2分）（2）已知的值答：0.（3）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积答：（4）求答：（5）求展开式中的常数项答：-40（6）已知的值答：三．（本题满分10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证

5、：平面PAC垂直于平面PBCPCAOB证：设圆O所在平面为α，由已知条件，PA⊥平面α，又BC在平面α内，因此PA⊥BC因为∠BCA是直角，因此BC⊥AC普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线，因此BC⊥△PAC所在平面，从而证得，△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直四．（本题满分12分）当sin2x＞0,求不等式的解集解：满足sin2x＞0的x取值范围是（1）而由得解得：-4＜x＜-3,5＜x＜7(5)由（1）、（5）可知所求解集为五．（本题满分10

6、分）YABαβOCX如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值解：设点A的坐标为（0，)、点B的坐标为（0，b），0＜b＜，又设所求点C的坐标为（x,0)记显然，现在有普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，取得最大值因为在内是增函数，所以当时，∠ACB取最大值故所求点C的坐标为（0）六．（本题满分10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求

7、同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）且C中含有3个元素，（2）（表示空集）解：因为A、B各含12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B元素的个数是12+12-4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是，在上面集合中，还满足A∩C=的集合C的个数是因此，所求集合C的个数是-=1084（解二略）七．（本题满分12分）过点M（-1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞记：线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2;L1的斜率

8、为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数L2YL1P2PMP1F-1OX解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k(x+1)①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到②因此，直线L1与该抛物线有两个交的充要条件是：③及④解出③与④得到现设点P的坐标为，则直线L1的斜率而直线L2的斜率记则今记L1与抛物线的