1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

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1、普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）如果正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为，那么四面体A＇-ABD的体积是（D)（2）的（A

2、）（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要的条件（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（B）（A）（B）（C）（D）(4)极坐标方程的图象是（C）(A)OX普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞(C)OX(B)OX(D)OX（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（B）（A）96个（B）78个（C）72个（D）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满

3、分4分只要求直接写出结果）（1）求方程解集答：（2）设，求的值答：π（3）求曲线的焦点答：（0，0）（4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞答：64（或26）（5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x2)的定义域答：[-1，1]三．（本题满分14分）（1）解方程解：由原对数方程得解这个方程，得到x1=0,x2=7.检验：x=7是增根，x=0是原方程的根（2）

4、解不等式解：解得四．（本题满分15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（00<θ<900)，线段PM的长为，求线段PQ的长普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞APBNC450MθRβQD解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，则PN⊥BC（三垂

5、线定理）因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=450由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β在Rt△PNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR在Rt△MNR中，MR=在Rt△PMR中，又已知00＜θ＜900，所以在Rt△PRQ中，故线段PQ的长为五．（本题满分15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ，（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值普通高等学校招生数学试题

6、新疆奎屯市第一高级中学王新敞YZ1θO-θXZ2解：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，则有于是又知△OZ1Z2的面积为定值S及，所以六．（本题满分15分）已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，所以可设点A和B分别是（,)和(+1,+1)，其中为参数普通高等学校招生数学试题新疆奎屯

7、市第一高级中学王新敞Yy=xQP·XBOAM于是可得：直线PA的方程是直线QB的方程是1.当直线PA和QB平行，无交点2．当时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得将上述两式代入（1）式，得当=-2或=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式所以（*）式即为所求动点的轨迹方程注：考生没指出“=0”及“=-2或=-1”时的情形不扣分七．（本题满分14分）设（1）证明不等式对所有的正整数n都成立（2）设用定义证明普通高等学校招生数学试题新疆奎屯市第一高级中学王新敞（1）证一：用数学

8、归纳法略证二：由不等式对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，得到又因以及对所有的正整数n都成立（2）由（1）及bn的定义知对任意指定的正数ε，要使，只要使，即只要使取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足根据极限的定义，证得八．（本题满分12分）设,b是两个实数，A={(x,y)

9、x=n,y=n+b,n是整数}，B={(x,y)

10、x=m,y=3