普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案.doc

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1、1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z成等差数列证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0∴2y=x+z,所以，x,y,z成等差数列二．（本题满分6分）三．（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？7/7四．（本题满6分）叙述并证明勾股定理证：略五．（本题满10分）外国船只，除

2、特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？PAαβBC解：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ7/7∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ）当d≤D，即ctgα+ctgβ≥时，应向外国船发出警告六．（本题满分10分）设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角CV

3、DAB求证：△ABC是锐角三角形证一：设VA=，VB=b，VC=c，AB=p，BC=q，CA=r于是p2=2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+2由余弦定理：同理，∠ABC，∠BCA也是锐角证二：作VD⊥BC，D为垂足因VA垂直于平面VAC，所以VA⊥BC又BC⊥VD，所以BC垂直于平面VAD，从而BC⊥AD及在△ABC中，A在BC边上的垂足D介于B和C之间因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角七．（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+

4、x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3)解：年增长率x应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.7/7取自然对数有40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用ln(1+x)≈x,则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四CEFABD八．（本题满分12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B求证：证：连接CD因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，∴CD⊥AB又在直

5、角三角形ABC中，∠ACB=900，∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA又因BD2=BC·BF，AD2=AC·AE由（1）与（2）得7/7九．（本题满分14分）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值（lg2=0.301)解：该数列的第k项为：所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k应适合下列条件：十．（本题满分18分）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h1．在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为

6、PD

7、，

8、PF

9、，

10、PE

11、，并且满足关系

12、PD

13、·

14、PF

15、=

16、PE

17、

18、2求P点的轨迹2．在上述轨迹中定出点P的坐标，使得

19、PD

20、+

21、PE

22、=

23、PF

24、7/7YADPEαOθhXFB解：设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x,y）,则7/77/7