[例2]求圆在时的切线

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1、[例2]求圆在时的切线。解：因为可确定两个隐函数，和在x=时，确定了周围上的二个点A(，)和B（，）。欲求和,在方程两边求导，得：所以所以所求切线为：和[例3]求笛卡儿（Descartes）叶形线：所确定的隐函数的一阶与二阶导数。解：在方程两边对x求导……（*）对（*）继续求导：[例4]，求。解：一般地，设，求先对两边求对数：，这就是一个隐函数，在两边对x求导数：令[例5]求的导数。二．由参数方程所确定的函数的导数在解析几何里，曲线常可用参数来表示：一般讲，这个参数方程确定了y是x的函数，如果具有连续的单调的反函数，那么所确定的函数就是与所复合的函数。

2、若y可表示成x的某个算式，这时求y对x的导数较容易，但一般地，不容易求，因此，我们寻找一种直接从参数方程来求导的方法。由，两边求导，得：这就是直接从参数方程求的公式，由此还有求二阶导数，方法是在：两边再对x求导：[例6]设，求。解：所以。[例7]设求与。解：。三．相关变化率§2.7函数的微分一．微分的定义：先观察一个具体的问题，设一边长为x的正方形，它的面积为A＝是的函数，若边长增加，相应地正方形的面积得到增量：。它是有两部分组成，第一部分是的线形函数，第二部分是的高阶无穷小，由此可见，当很小时，影响正方形面积增量的主要是：，而可忽略不计，因而用近似代

3、替，其误差是的高阶无穷小，即以为边的小正方形的面积。一般地，若为定义在某区间上的函数，为该区间内的一点，当给自变量以一个增量时，函数得到一个增量：。定义：若函数在的增量可表示为的线形函数(A为不依赖的常数)与较高阶的无穷小量两部分之和：……..(1)就称函数在点可微，并称为在点的相应于自变量增量的微分，记为：或，而。定理：函数在点可微（微分为）的充要条件是函数在可导（导数为）。证：在可微在的增量可写成所以在点可导，且.在可导，其中，，又，所以，所以，所以在点可微。由此可见，一元函数可微性与可导性是互相等价的。若在区间I上的每一点都可微，就称是I上的可微

4、函数，记在I上的微分为，显然，它不仅依赖，也依赖x..[例1]求在处的微分，并求此时的微分.解：（1）（2）[例2]求的微分.解：注：（1）上例说明自变量的增量就是函数的微分，通常称为自变量的微分，记为。从此，的微分又可记为……….（2）（2）说明函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。若在（2）式两边同时除以，得……....（3）（3）说明函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商。因此，导数亦称微商。以后导数的记号是作为一个整体来看的，现在此记号就可看成是分子为，分母为的分式。一．基本初等函数的微分公式与微分运算法则。①.基本初等函数的微分公式：

5、由（2）知：要求微分知道其导数就行了。因此，由基本初等函数导数公式立即就能得到基本初等函数的微分公式。②.微分运算法则：另外，也立即能得到微分运算法则。③复合函数的微分法则：设，，则复合函数的微分为：，又，另一方面，直接从求关于自变量的微分为，二者形式一样，这说明不论是自变量还是中间变量，都有.这一性质称为微分形式不变性。[例3]求的微分。解：[例4]求微分。解：或[例5]求的微分解：[例6]在下列括号中填入适当的函数，使等式成立。(1)(2)三．微分的几何意义如图，当自变量由x增加x+到时，函数y=f(x)相应的增量，又在M（）点，函数的切线的斜率为

6、，从而得：PQ=,MQ=是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量。是曲线在M点的切线上的点的纵坐标的增量，当时，故常用d来代替，用于近似的计算:注1：，当时，若，则相对误差，可见，当越小，则用代替的效果越好！2：并非任一函数在处都可微。[例7]导出sinx,tgx,ln(1+x),e在x=0处附近的近似计算公式。解：所以同理得tan,ln(1+).§2．7微分的运用在上节，我们曾讲过用＝来进行近似计算，在此若令x=x+,则有f(x)-f(x)==(x-x)f(x)f(x)+(x-x)………(1)上式表明，若要计算f(x)的值，可找一邻近于x的点x使f(x

7、),易于计算，然后用(1)近似求出f(x)。[例1]求的近似值。解：是函数y=在x=0.97处的值，此时，可取x=1,x=0.97x-x=-0.03,又f(x)=1=()=1+(-0.03)=0.985(查表：0.9849)在(1)中若x=0，且当

8、x

9、很小时，有公式：f(x)f(0)+f(0)x…(2)由此（2）式不难验证：当

10、x

11、很小时，有sinxx,tgxx,ln(1+x)x,1+x,(1+x)1+x等等。微分还可以用于误差估计中，在测量某一量时，所测的结果于精确值有个误差，有误差的结果在计算过程中，必导致所计算的其它量也带有误差，那么如何估计这

12、些误差呢？一般地，设A为某量地精确值，a为所测地近似值，

13、A-a

14、称为其绝对误差，

15、

16、称为其相