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时间:2019-05-19
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1、2014年全国高考试卷导数部分汇编(下)1.(2014山东理6)直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.B.C.2D.4【解析】D2.(2014山东理20)设函数(为常数,是自然对数的底数).⑴当时,求函数的单调区间;⑵若函数在内存在两个极值点,求的取值范围.【解析】⑴当时,,令,则当时,单调递减;当时,单调递增.⑵令,则当时,恒成立,上单调递增,不符合题意.当时,令,,综上:的取值范围为.3.(2014山东文20)设函数,其中为常数.⑴若,求曲线在点处的切线方程;⑵讨论函数的单调性.【解析】⑴当时又,故直线过点⑵①当时,恒大于,在定义域上
2、单调递增.②当时,.在定义域上单调递增.③当时,即;开口向下,在定义域上单调递减.当时,对称轴方程为且在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.综上所述,时,在定义域上单调递增;时,在定义域上单调递减;时,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.1.(2014陕西理3)定积分的值为()A.B.C.D.【解析】C,故选C.2.(2014陕西理10)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为()A.B.C.D.【解析】A根据题意,所求函数在上单调递减,对于A,∴
3、∴在内为减函数,同理可研究B、C、D均不满足此条件,故选A.1.(2014陕西理21)设函数其中是的导函数.⑴令求的表达式;⑵若恒成立,求实数的取值范围;⑶设,比较与的大小,并加以证明.【解析】由题设得,.⑴由已知,,,…,可得.下面用数学归纳法证明.①当时,,结论成立.②假设时结论成立,即.那么,当时,,即结论成立.由①②可知,结论对成立.⑵已知恒成立,即恒成立.设,即,当时,(仅当时等号成立),在上单调递增,又,在上恒成立,时,恒成立(仅当时等号成立).当时,对有,在上单调递减,.即时,存在,使,故知不恒成立,综上可知,的取值范围是.⑶由题设知,比
4、较结果为.证明如下:证法一:上述不等式等价于,在⑵中取,可得.令,,则.下面用数学归纳法证明.①当时,,结论成立.②假设当时结论成立,即.那么,当时,,即结论成立.由①②可知,结论对,成立.证法二:上述不等式等价于,在⑵中取,可得.令,则.故有,,……,上述各式相加可得.结论得证.证法三:如图,是由曲线及辆所围成的曲边梯形的面积,而是图中所示各矩形的面积和,∴,结论得证.1.(2014陕西文10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为A.B.C.D.【解析】A1.(
5、2014陕西文21)设函数.⑴当(为自然数的底数)时,求的极小值;⑵讨论函数零点的个数;⑶若对任意恒成立,求的取值范围.【解析】⑴当时,,则,∴当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增.∴当时,取得极小值,∴的极小值为2.⑵由题设知,,令,得.设,则,当时,,∴在上单调递增;当时,,∴在上单调递减.∴是的唯一极值点,且是极大值点,因此也是的最大值点.∴的最大值为.又,结合的图象(如图),可知①当时,函数无零点;②当时,函数有且只有一个零点;③当时,函数有两个零点;④当时,函数有且只有一个零点;综上所述,当时,函数又且只有一个零点.当或时,函数有且只有
6、一个零点;当时,函数有两个零点.⑶对任意的,恒成立,等价于恒成立.(*)设,∴(*)等价于在上单调递减.由在上恒成立,得恒成立,∴(对,仅在时成立),∴的取值范围是.1.(2014四川理9)已知,.现有下列命题:①;②;③.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②【解析】A故①正确,故②正确.当时,令()因为,所以在上单增,即,又与为奇函数,所以成立,故③正确.1.(2014四川理21)已知函数,其中,为自然对数的底数.⑴设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;⑵若,函数在区间内有零点,求的取值范围.【解析】
7、⑴因为,所以又因为,所以:①若,则,,所以函数在区间上单增,②若,则,于是当时,,当时,,所以函数在区间上单减,在区间上单增,③若,则,所以函数在区间上单减,综上:在区间上的最小值为⑵由,又若函数在区间内有零点,则函数在区间内至少有三个单调区间由⑴知当或时,函数即在区间上单调,不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求.若,则令()则.由所以在区间上单增,在区间上单减,即恒成立于是,函数在区间内至少有三个单调区间又所以.综上,的取值范围为.1.(2014四川文21)已知函数,其中,为自然对数的底数.⑴设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;
8、⑵若,函数在区间内有零点,证明:.【解析】⑴由,有,所以.当时,,当时,,所以在上单调递增,因
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