18导数在研究函数中的应用

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1、18导数在研究函数中的应用【考试要求】理解函数的导数与函数的单调性之间的关系，能利用导数研究函数的单调性；能解决通过构造函数研究单调性来证明不等式的一类问题．理解函数的极值与最值的概念，掌握求函数的极值与最值的一般步骤，能求解与函数的极值与最值有关的问题．【重点与难点】导数是研究函数单调性的重要工具，是本节的重点，特别是利用初等方法无法判断和研究的函数，更应注意导数的运用，后面函数极值与最值的研究，实质还是研究函数的单调性．含参函数的单调区间求解，往往涉及分类讨论，通过构造函数来研究不等式的问题，综合性更强，要求更高．函数极值与最值的研究，实

2、质还是研究函数的单调性．是对函数单调性的全面考察（通常通过列表来分析），函数的极值与最值与函数的零点（方程解的问题）及函数不等式问题（证明不等式、不等式恒成立时求参数的范围）有着紧密联系，有些问题综合性较强，对分类讨论、转化及分析问题的能力都有较高要求．【知识点与方法】（一）函数的导数与函数的单调性的关系1、（1）函数在区间内可导，如果对区间内任意x，总有（或），则函数在该区间内为增（或减）函数．（2）如果函数在某个区间内有（或），而等号只在该区间内个别点处成立，那么函数在此区间内图像仍是上升（或下降）的．2、怎样求可导函数单调区间的？（1）

3、确定函数的定义域；（2）求函数的导数；（3）令，所得x的范围（区间）为函数的单调增区间；令，得单调减区间．（二）函数的极值1、一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，是极大值点；如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，是极小值点．极大值与极小值统称为极值：取得极值的点称为极值点，“极值点”是自变量的值，“极值”指的是函数值2、判别可导函数的极大、极小值的方法：若满足：，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值．3、如何进一步理解函数（一般指：可导函数）极值的定义？（1）函数的极值是一个局部的

4、概念，极值点是区间内部的点而不会是端点；（2）若在某区间内有极值，那么在某区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值；（3）极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小；（4）导数为0的该点为极值点的必要条件，不是充分条件．4、怎样求可导函数的极值？（1）确定函数定义域；（2）求导数；（3）在定义域内求方程的根；（4）检查在方程的根左右的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．（三）函数的最值1、连续函数在闭区间上的最大值和最小值：函数在内的极值和、中

5、，最大的和最小的分别是函数在闭区间上的最大值和最小值．一、基础训练1．若函数在上恒有，则在上单调．（填“递增”或“递减”）2．函数的单调递增区间是．3．函数的单调递减区间为．4．函数在上单调递减区间是．5．已知函数的导数为，则当时，函数取得极大值．6．（2011湖南卷）若，且函数在处有极值，则的最大值等于．7．已知是函数的一个极值点，则实数．8．已知函数（为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是．二、例题精讲例1．求下列函数的单调区间和极值：（1）；（2）．例2．已知函数．（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若是的极值点，求在

6、上的最小值和最大值．例3．设函数．（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．例4．已知函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：．参考例题1．设函数，已知和为的极值点，求的值．2．（2011北京卷）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对任意的，都有，求的取值范围．3．设函数．（1）当，，求证：；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．三、巩固练习1．已知函数（），则的单调递减区间是．2．函数在区间上的最小值为．3．设函数（），则的零点个数是．4．已知函数在上为减函数，则实数的取值范

7、围是．四、要点回顾1．理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，能利用导数研究函数的单调性．2．结合函数的图像和单调性与导数的关系，理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能利用导数研究函数的极值和最值．3．充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，以及列表的操作步骤和算法思想．导数在研究函数中的应用2012-9-8班级：姓名：1．函数在处的导数为，若为函数的极大值，则．2．函数在上的最大值是．3．函数的单调递减区间是．4．函数在区间上的极大值是．5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．6．已知函数在处有极值10，则．7．已知（）在处

8、取得极值，试判断与是函数的极大值还是极小值．8．（2011安徽卷）设，其中为正实数．（1）当时，求的极值点；（2）若为上的单调函数，求的取值范围．9．，当在何范围内