2.7 直角三角形的全等判定直角三角形的全等判定 学案1

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1、直角三角形全等的判定重点:掌握直角三角形全等的判定定理:斜边、直角边公理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)难点:创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。讲一讲例1:已知:如图△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,BD、CE交于O点,且BD=CE求证:OB=OC.分析:欲证OB=OC可证明∠1=∠2,由已知发现,∠1,∠2均在直角三角形中,因此证明△BCE与△CBD全等即可证明:∵CE⊥AB,BD⊥AC,则∠BEC=∠CDB=90°∴在Rt△BCE与Rt△CBD中∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)∴∠1=∠2,∴OB

2、=OC例2:已知:Rt△ABC中,∠ACB是直角,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于E,求证:CD⊥BE分析:由已知可以得到△DBE与△BCE全等即可证明DE=EC又BD=BC,可知B、E在线段CD的中垂线上,故CD⊥BE。证明:∵DE⊥AB∴∠BDE=90°,∵∠ACB=90°∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中BD=BCBE=BE∴Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)∴DE=EC又∵BD=BC∴E、B在CD的垂直平分线上即BE⊥CD.例3:已知△ABC中,CD⊥AB于D,过D作DE⊥AC,F为BC中点,过F作FG⊥DC求

3、证:DG=EG。分析:在Rt△DEC中,若能够证明G为DC中点则有DG=EG因此此题转化为证明DG与GC相等的问题,利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。证明:作FQ⊥BD于Q,∴∠FQB=90°∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∵FG⊥CDCD⊥BD∴BD//FG,∠BDC=∠FGC=90°∴QF//CD∴QF=DG,∴∠B=∠GFC∵F为BC中点∴BF=FC在Rt△BQF与Rt△FGC中∴△BQF≌△FGC(AAS)∴QF=GC∵QF=DG∴DG=GC∴在Rt△DEC中,∵G为DC中点∴DG=EG练一练1.选择:(1)两个三角形

4、的两条边及其中一条边的对角对应相等,则下列四个命题中,真命题的个数是()个①这两个三角形全等;②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等;④相等的角为直角时全等A.0B.1C.2D.3(2)在下列定理中假命题是()A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形(3)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=60°,延长BC到D,使CD=AC则AC:BD=()A.1:1B.3:1C.4:1D.2:3(4)如图,

5、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE,分别是斜边AB上的高与中线,CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是()A.∠1<∠2B.∠1=∠2;C.∠1>∠2D.不能确定(5)在直角三角形ABC中,若∠C=90°,D是BC边上的一点,且AD=2CD,则∠ADB的度数是()A.30°B.60°C.120°D.150°2.解答:(1)已知:如图∠B=∠E=90°AC=DFFB=EC求证:AB=DE.(2)已知:如图AB⊥BD,CD⊥BD,AB=DC求证:AD//BC.(3)已知如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,D

6、F⊥AB,垂足分别是E、F求证:CE=DF.参考答案(1)C;(2)D;(3)D设BC=x则AC=2x,CD=2x∴BD=3x∴AC:BD=2:3(4)B∵CE为△ABC中线,∴AE=EC∴∠3=∠A∵CF平分∠ACB∴∠ACF=∠FCB即∠3+∠1=∠2+∠4∵CD⊥AB,∠ACB=90°∴∠4=∠A∴∠3+∠1=∠2+∠A∴∠1=∠2(5)C∠ADC=60°∴∠ADB=120°2.(1)∵FB=CE∴BC=FE在Rt△ABC与Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∴AB=DE(2)∵AB⊥BDCD⊥BD∴∠ABD=∠BDC

7、=90°∴在Rt△ABD与Rt△CDB中∴△ABD≌△CDB(SAS)∴∠ADB=∠DBC∴AD//BC(3)在Rt△ACB与Rt△ABD中∴Rt△ACB≌Rt△BDF(HL)∴∠CAB=∠DBA,AC=BD∴在Rt△CAE与Rt△BDF中∴△CAE≌△BDF(AAS)∴CE=DF.

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