例谈高中生“一题多解、一题多变”思想的培养

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1、例谈高中生“一题多解、一题多变”思想的培养江苏省启东市江海中学(226200)朱海东新的《数学课程标准》要求高中数学教学以培养学生创造性思维、发散性思维和灵活性思维为主要目标。所以,在高中数学课堂中渗透“一题多解”和“一题多变”指导机制,这便成为了当前高中数学教师所要研究的重点课题。笔者认为,通过指导高中生“一题多解”和“一题多变”思想,可以有效提高他们的数学解题效率,并拓宽他们的解题思路和认知面,促进他们的解题兴趣,从而全面提升他们的数学综合能力,让他们在相关考试中取得傲人的成绩。此外,从发展的角度来看,培养高中生“一题多解”和“一题多变”思想,还可以促进他们的智力和创新能力的成长,让他

2、们更加热爱数学,并敢于挑战数学难题。一、一题多解,培养“发散”思维培养高中生“一题多解”思想,可以有效促进他们的综合性数学能力,并提高他们的解题效率,拓展他们的解题思路。此外,通过培养高中生“一题多解”思想,还能增强他们的发散性思维。但是,具体何为发散性思维呢?即:通过不同的角度和方向来思考同一个问题,并在思考的同时寻出多种解答方案的思维过程。在学习数学的过程中,如果可以有效提高学生的发散性思维,不但可以让他们更加灵活地解答各类习题,同时还能最大限度地增强他们的解题效率,并让他们面对各类难题时能从多个角度、多个方向去思考。。例1:已知x≥0,y≥0,且x+y=1,求出x2+y2的取值范围。

3、思路1:借助函数思想,通过x+y=1可以知道y=1-x,故x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(。其中,因为x∈[0,1],所以根据二次函数的图像和性质知道x=时,x2+y2取最小数值,当x=0或1时,x2+y2的最大值为1.解析:函数思想是高中数学的基本解题思想,它不但充分地揭示出了一种变量之间的关系,同时也被多数学生及教师所利用。在利用函数思想来求解二元和多元函数的最值问题时,通常都是利用变量替换转化为一元函数来解决,这种基本解题方法可以让解题过程变得更加清晰简单,可以省去很多的时间。目前,在解决函数的最值问题方面,我们已经有比较深的函数理论,函数性质,如单调性的运用、

4、导数的运用等都可以求函数的最值。思路2:借助三角换元思想:因为x+y=1,x和y都≥0,所以可以假设x=cos2θ,y=sin2θ。由于θ∈[0,],所以,x2+y2=cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2-2cos2θsin2θ。通过对上述算式推导可以得知:当cos4θ=-1时,x2+y2将会取得最小数值,当cos4θ=1的时候,将会取得最大数值1解析:三角换元思想是高中数学解题的另外一种方法,它的有效性并不差于函数解题思想。其中,高中生在解题时可以通过三角换元将问题转化成三角恒等式变形(三角恒等变形之后会蕴含许多三角公式),这样解答起来无疑会方便许多。通过上述可以看出:利

5、用不同的思想去解答数学习题,可以让学生更加扎实地掌握函数及三角换元等知识,同时还能间接培养他们的逻辑思维,让他们在观察和思考的同时扎实地掌握解题技巧。此外,通过培养学生“一题多解”思想还能让他们养成从不同的角度去审视问题的习惯。二、一题多变,培养“创造”思维创造性思维是一种高级的心理活动,主要体现为:人们通过对客观事物及规律的揭示和分析,并在此基础上推断和制造出新颖独特的东西,而这个东西恰恰是高中生所缺失的。笔者认为,培养高中生“一题多变”思想,不但可以让他们在思考问题和分析问题的时候想到更多的知识,同时还能间接增强他们的创造能力。譬如:鼓励学生结合题干创造条件,或者是修改题干内容,并在此

6、基础上提高问题的难度,从而让问题更具发散性和延伸性。这样一来,不但可以有效培养高中生的创造意识,同时还能让他们在操作的同时提高自身的解题技巧和思考能力。从而让他们的数学能力获得有效的提高。例2:f(x)=的定义域为R,求出m的取值范围。该题属于一道基础类型题,解法相对简单。在实施“一题多变”期间,可以根据高中生的具体解题能力进行变化,同时也可以鼓励学生对题意进行适当的改变,以此促进他们的“一题多变”思想,让他们在“变化”与“解题”之中提升自身的创造能力。变法1:f(x)=log3的定义域为R,求出m的取值范围。解析:学生在解答这道习题的时候,首先要读清题意,并知道mx2+8x+4在定义域R

7、上是恒成立的。由此一来,通过推导,便可以快速求出答案。变法2:已知f(x)=log3(mx2+8x+4)的值域为R,求出m的取值范围。解析:在解答这道习题的时候,学生首先要明白,如果要让t=mx2+8x+4成立,首先要求t能取到所有大于0的实数。可见,通过“一题多变”,不但可以转移学生的解题思路,同时还能培养他们的思维灵活性。而且,随着问题的不断变化,以及难度的不断提高,不但可以间接培养高中生的创造意识,同时还能让他们的

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1、例谈高中生“一题多解、一题多变”思想的培养江苏省启东市江海中学(226200)朱海东新的《数学课程标准》要求高中数学教学以培养学生创造性思维、发散性思维和灵活性思维为主要目标。所以,在高中数学课堂中渗透“一题多解”和“一题多变”指导机制,这便成为了当前高中数学教师所要研究的重点课题。笔者认为,通过指导高中生“一题多解”和“一题多变”思想,可以有效提高他们的数学解题效率,并拓宽他们的解题思路和认知面,促进他们的解题兴趣,从而全面提升他们的数学综合能力,让他们在相关考试中取得傲人的成绩。此外,从发展的角度来看,培养高中生“一题多解”和“一题多变”思想,还可以促进他们的智力和创新能力的成长,让他

2、们更加热爱数学,并敢于挑战数学难题。一、一题多解,培养“发散”思维培养高中生“一题多解”思想,可以有效促进他们的综合性数学能力,并提高他们的解题效率,拓展他们的解题思路。此外,通过培养高中生“一题多解”思想,还能增强他们的发散性思维。但是,具体何为发散性思维呢?即:通过不同的角度和方向来思考同一个问题,并在思考的同时寻出多种解答方案的思维过程。在学习数学的过程中,如果可以有效提高学生的发散性思维,不但可以让他们更加灵活地解答各类习题,同时还能最大限度地增强他们的解题效率,并让他们面对各类难题时能从多个角度、多个方向去思考。。例1:已知x≥0,y≥0,且x+y=1,求出x2+y2的取值范围。

3、思路1:借助函数思想,通过x+y=1可以知道y=1-x,故x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(。其中,因为x∈[0,1],所以根据二次函数的图像和性质知道x=时,x2+y2取最小数值,当x=0或1时,x2+y2的最大值为1.解析:函数思想是高中数学的基本解题思想,它不但充分地揭示出了一种变量之间的关系,同时也被多数学生及教师所利用。在利用函数思想来求解二元和多元函数的最值问题时,通常都是利用变量替换转化为一元函数来解决,这种基本解题方法可以让解题过程变得更加清晰简单,可以省去很多的时间。目前,在解决函数的最值问题方面,我们已经有比较深的函数理论,函数性质,如单调性的运用、

4、导数的运用等都可以求函数的最值。思路2:借助三角换元思想:因为x+y=1,x和y都≥0,所以可以假设x=cos2θ,y=sin2θ。由于θ∈[0,],所以,x2+y2=cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2-2cos2θsin2θ。通过对上述算式推导可以得知:当cos4θ=-1时,x2+y2将会取得最小数值,当cos4θ=1的时候,将会取得最大数值1解析:三角换元思想是高中数学解题的另外一种方法,它的有效性并不差于函数解题思想。其中,高中生在解题时可以通过三角换元将问题转化成三角恒等式变形(三角恒等变形之后会蕴含许多三角公式),这样解答起来无疑会方便许多。通过上述可以看出:利

5、用不同的思想去解答数学习题,可以让学生更加扎实地掌握函数及三角换元等知识,同时还能间接培养他们的逻辑思维,让他们在观察和思考的同时扎实地掌握解题技巧。此外,通过培养学生“一题多解”思想还能让他们养成从不同的角度去审视问题的习惯。二、一题多变,培养“创造”思维创造性思维是一种高级的心理活动,主要体现为:人们通过对客观事物及规律的揭示和分析,并在此基础上推断和制造出新颖独特的东西,而这个东西恰恰是高中生所缺失的。笔者认为,培养高中生“一题多变”思想,不但可以让他们在思考问题和分析问题的时候想到更多的知识,同时还能间接增强他们的创造能力。譬如:鼓励学生结合题干创造条件,或者是修改题干内容,并在此

6、基础上提高问题的难度,从而让问题更具发散性和延伸性。这样一来,不但可以有效培养高中生的创造意识,同时还能让他们在操作的同时提高自身的解题技巧和思考能力。从而让他们的数学能力获得有效的提高。例2:f(x)=的定义域为R,求出m的取值范围。该题属于一道基础类型题,解法相对简单。在实施“一题多变”期间,可以根据高中生的具体解题能力进行变化,同时也可以鼓励学生对题意进行适当的改变,以此促进他们的“一题多变”思想,让他们在“变化”与“解题”之中提升自身的创造能力。变法1:f(x)=log3的定义域为R,求出m的取值范围。解析:学生在解答这道习题的时候,首先要读清题意,并知道mx2+8x+4在定义域R

7、上是恒成立的。由此一来,通过推导,便可以快速求出答案。变法2:已知f(x)=log3(mx2+8x+4)的值域为R,求出m的取值范围。解析:在解答这道习题的时候,学生首先要明白,如果要让t=mx2+8x+4成立,首先要求t能取到所有大于0的实数。可见,通过“一题多变”,不但可以转移学生的解题思路,同时还能培养他们的思维灵活性。而且,随着问题的不断变化,以及难度的不断提高,不但可以间接培养高中生的创造意识,同时还能让他们的

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