例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

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1、《教育学》期刊2012年5月刊推荐稿件例谈高中数学一题多解和一题多变的意义杨水长摘要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。关键词：一题多变一题多解创新思维数学效果　　《教育学》期刊2012年5月刊推荐稿件很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好

2、数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：例题：已知tanα=,求sinα,cosα的值分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三

3、角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tanα==，且sina2α+cos2α=1。两式联立，得出：cos2α=,cosα=或者cosα=-；而sinα=或者sinα=-。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二tanα=：α在第一、三象限在第一象限时：cos2α===cosα=sinα==而在第三象限时：cosa=-sina=-分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三tanα==↔=↔==±∴sinα

4、=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四当α为锐角时，由于tana=,在直角△ABC中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=5x《教育学》期刊2012年5月刊推荐稿件sinA==,cosA==∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用

5、范围更广：法五当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT，因为tanα=，则T点坐标是T(1,),由勾股定理得：OT==∵△OMP∽△0AT∴==，OM=,MP=,p(,),∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位圆的方程y=x；x2+y2=1两式联立，得出：，或.T点坐标是P(-,-)P(,)∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：先考虑sinα、

6、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：解法七tanα==4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5sin（a+φ）=0,其中，sinφ=,cosφ=∴a+φ=kπ，k∈Zsina=sin（kπ-φ）=sinφα在第一、三象限∴容易求出sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：解法八，由二倍角公式，得，tanα==3tan2+8tan-3=0∴tan=-3,或tan=《教育学》期刊2012

7、年5月刊推荐稿件sinα=2sincos==2∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-判别式此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广：变式1：已知tanα=-3，求sinαcosα的值变式2：已知tanα=m，求sinα，cosα的值变式3：已知sinα=m，求cosα，tanα的值由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽

8、解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从已知的此岸渡到未知的彼岸。