《任意角的三角函数》教学设计

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1、《任意角的三角函数》教学设计会宁二中数学教研组武慧邦   一、内容与内容解析三角函数是特殊的一类函数，与指数函数、对数函数一样都是基本初等函数，可按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并在这个过程中突出单位圆的作用。二、目标和目标解析1．借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。2．在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。3．在概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。三、教学问题诊断分析在概念教学过程中要注意学生已有知

2、识经验的作用，进行延伸。本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。即：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫；第三，由于研究

3、范围的改变，更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。这些都是在本课时的学习之后应该取得的认知方面的进步。认识一个函数，关键是认识函数的三要素。同样在任意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题，应该注意明确任意角的三角函数的三要素，引导学生类比理解。此外，由于学生对角度制的应用已经很熟练，而对弧度制的应用比较陌生，所以在理解函数的定义域是实数集时可能会出现问题，这需要教师的引导，同时也需要时间适应。综合上述分析，本课时的教学难点是：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。四、教学过程设计问题1 本章研究的问题是三角

4、函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。）6预计的回答：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终

5、边上的点的坐标表示锐角三角函数。解答过程：（1）再现锐角三角函数的定义：如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。（2）坐标化：如图2，建立平面直角坐标系，设点P的坐标为（x，y），那么，于是。问题2 回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。（设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。）预计的困难：由于学生只接触过一次单位圆，对它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教师的

6、引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。解答过程：单位圆中定义锐角三角函数：如图3，线段OP=1，点P的坐标为（x，y），那么锐角α的三角函数可以用坐标表示为：。（说明：单位圆的定义建议在弧度制一节中给出。）6依据：三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。问题3：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，请你写出任意角的三角函数的定义。分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。活动形式：由学生分组独立完成之后再展示交流，形成具体而全面的认

7、识。学生可能会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难，教师的帮助不要具体，而是在思维上引导——用坐标表示，并引导学生正确认识三角函数的定义域。预计的答案：如图4，针对其中的图（1）（2）（3）学生写出，针对其中的图（4）学生写出，针对其中的图（5）学生写出，tanα无意义。 结论：给出三角函数的定义：（略）。问题4：根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？你能用函数的定义对三角函数进行分析吗？预计的困难：学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。6教师的引导：引导学