传递函数与干预变量

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1、第五章传递函数模型与干预变量分析主要内容和要求本章讨论多元的时间建模的相关问题。主要内容和要求：1.定义传递函数模型的形式；2.研究传递函数模型和脉冲响应函数的基本特征和性质，以及传递函数模型的稳定性；3.介绍传递函数模型的识别、估计和诊断校验。4.干预变量模型识别、估计和诊断校验。要求学生掌握有关传递函数模型的理论、脉冲响应函数与互相关函数的关系。传递函数建模过程和干预变量模型建模过程。2在前几章，我们讨论了单变量时间序列分析的建模、估计和诊断有关的问题。本章与前面几章不同的是，所涉及的变量在两个以上。实际上在很多场合，时间序列当期的表现，不仅受自己过去的影响，还与另一个或者多个时间序列

2、相关联。例如销售变量可能与广告支出有关，每天用电支出可能与一定的天气变量，比如室外最高气温和相对湿度的序列有关。传递函数模型是分析一个输出变量与一个或多个输入变量有关的动态模型的一种方法。第一节传递函数模型的基本概念3一、模型的形式设表示某种商品在一段时间的销售额Yt，由于经济时间序列通常的有记忆性，可以用一个ARMA模型来描述其变化规律，假定其变化规律的表达式为如果我们考虑广告费，广告费对销售额的影响不仅有即期影响，还具有一定的滞后效应，假定其滞后的影响是一期，那么在式中就应加入广告费的滞后一期值和即期值。4如果广告费的滞后一期值对销售额的影响效用是0.60，即期影响是0.55，则这个简单

3、的输出和输入关系为如果用后移算子B，模型的等价形式为5模型的基本原理是输入Xt通过传递函数算子传递到输出Yt上，而随机扰动项通过算子叠加到输出上，最终输出Yt。6一个输入变量的单输出的线性系统的形成机理可以由图5-1表示。动态系统输入xt输出yt随机干扰t图5-1动态系统图示7传递函数模型的一般形式其中(B)、(B)、(B)和(B)是后移算子的多项式，阶数分别为s、r、q及p。(B)和(B)描述Xt对Yt影响。(B)和(B)描述随机干扰项对Yt影响。b称为延迟参数，即Xt的b期滞后值才开始对Yt产生影响Xt。at为随机干扰项。为传递函数。8其中9传递函数模型形成机理图5.2

4、一般传递函数模型形成过程10二、脉冲相应函数特征传递函数是由B的多项式构成，即所以，确定了其传递函数部分三个参数s、r和b，传递函数基本情况就了解了。传递函数的特征为传递函数的三个参数的的判定提供了依据。由于传递函数V(B)是有理函数，则V(B)可以表示为B的无穷阶的多项式。11传递函数的多项式形式为V(B)的系数vj（j=1,2，…）称为脉冲响应函数。说明Xt的滞后变量是如何影响Yt。有可以用待定系数法求V(B)的系数vj(j=1,2，…)，vj称为脉冲响应函数,描述Xt的滞后变量是如何影响Yt。12总结起来脉冲响应函数有如下几个特征：脉冲响应函数vj的形式，（1）前b个脉冲函数值为零，即

5、v0=v1=…=vb-1；13（2）当时，脉冲响应函数由式确定，因为j-b是不同的参数，这时的脉冲响应函数无固定形式；14（3）当j>b+s时，j-b均为零，这时则有这恰好是一个r阶的差分方程，可见当j>b+s时的脉冲响应函数是该方程的解，所以当jb+s+1时，脉冲响应函数呈指数衰减，r个初始响应函数为结合这3点，我们可以得到三个参数r、s和b的值。。15三、常见的传递函数的形式为了进一步了解传递函数模型，下面给出几个低阶的传递函数模型，从低阶的传递函数模型体会传递函数模型的结构。在应用研究中r和s均较小，一般不超过2。16（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，0，0）（2，0，1）

6、（2，0，2）1.r=0的情形，，172.r=1的情形（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，1，1）（2，1，2），，，，，18四、传递函数的稳定性在一元的时间序列分析中，需要讨论序列的平稳性，在传递函数模型中，称为稳定性，其稳定性表现在两个方面。一个是针对传递函数讨论。另一个是针对讨论。19从时间序列滞后的特点来看，既往输入系统的变量，滞后期越长，对系统的影响则越小，所以脉冲响应函数vj(j=1，2，…）应该快速收敛到零，这样传递函数则更稳定性。为了满足vj(j=1，2，…）快速收敛到零，则要求E(B)构成的特征方程的根必须在单位圆之内。20对于随机干扰部分的平稳性要求与前面对ARMA模

7、型平稳性的要求是一样的，要求由(B)构成特征方程的根在单位圆之内。21【例5.1】假设传递函数模型为讨论其稳定性。，解：由算子构成的特征为其根为22而两个根的模所以特征方程的根在单位圆之内，传递函数是平稳的。又由于特征方程的根为0.45，小于1，所以模型的随机干扰项部分是平稳的。所以该传递函数模型是平稳的。23第二节传递函数模型的识别与估计涉及单变量问题的ARMA模型，其识别工具主要是自相关和偏自相关函数的